Votaciones ¿son realmente la manera más justa de decidir?

Esto que voy a contar aquí pretende hacerlos pensar si algo que uno da por sobreentendido (que una votación es la manera más justa de elegir algo) realmente lo es.
Supongamos que uno tiene que elegir presidente de un país (lo mismo sería si uno tiene que elegir cuál es la favorita entre algunos tipos de torta). Sin ninguna duda, la manera que todo el mundo considera más justa es una votación. Y así debería ser. De todas formas, hay algunas personas (no necesariamente antidemocráticas… espere un poco antes de criticarlas) que tienen otras ideas. Cuando uno analiza la situación desde un punto de vista matemático puede encontrar algunos tropiezos. Veamos.
De acuerdo con el matemático Donald Saari (quien probó recientemente un importante resultado con respecto a la teoría de la votación), es posible crear, a través del voto, cualquier elección que uno quiera. Es decir, distorsionar la voluntad popular hasta hacerla coincidir con lo que uno quiere. Aunque uno no lo pueda creer. Todo lo que uno tiene que saber es aproximadamente qué es lo que piensa la población o los potenciales votantes (cosa que se puede lograr a través de encuestas con niveles de error muy bajos en la actualidad). Entonces es posible crear «fórmulas» de manera tal que los votantes elijan o aprueben unas por encima de otras, hasta lograr que voten por lo que uno quiere, aunque ellos crean que están votando libremente. La clave es que quien maneja la «mayoría» son quienes están en control.
Veamos un ejemplo. Lo vamos a hacer con número reducido de votantes (30) y pocos candidatos (3). Pero la idea que uno saca de este caso será suficiente para advertir que esto puede hacerse en casos más generales. Supongamos entonces que hay 30 votantes y supongamos que hay 3 candidatos para elegir: A, B y C. Voy a usar una notación para indicar que los votantes prefieren al candidato A sobre el B. Es decir, si escribimos A > B, esto significa que la población, puesta a elegir entre A y B, elegiría a A. Por otro lado, si escribiéramos A > B > C, esto significa que puestos a elegir entre A y B, preferirían a A, y entre B y C elegirían a B. Pero también dice que si hubiera que elegir entre A y C elegirían a A. Ahora, pasemos al ejemplo:

10 votantes quieren A > B > C
10 votantes prefieren B > C > A
10 votantes elegirían C > A > B.        (*) 

Es decir, tenemos esa distribución de los votantes en el caso de que tuvieran que ir eligiendo entre los tres candidatos. Supongamos ahora que uno tiene una elección, en donde primero hay que elegir entre dos candidatos, y el ganador compite con el tercero que no participó. Y supongamos que queremos hacer presidente a C. Primero, hacemos competir a B contra A. Mirando en la tabla (*), vemos que A ganaría con 20 votos si la gente tuviera que elegir entre A y B. Luego, lo hacemos competir al ganador (A) con el que queda (C), y mirando otra vez el diagrama (*) gana C (obtendría también 20 votos). Y con esto conseguimos el resultado que queríamos.
Si, para comprobar la teoría, uno prefiere que salga presidente A, hacemos «confrontar» primero a B contra C. Entonces, gana B. Este ganador, B, luego compite con A, y nosotros sabemos que A le gana (de acuerdo con *). Y queda presidente. Por último, si uno prefiere que B sea el presidente, hacen competir a A con C, y mirando otra vez la lista de (*) advertimos que ganaría C. Este ganador, C, compite con B, y en ese caso ganaría B. Y logramos nuestro cometido.
Vale la pena notar que en cada elección el ganador obtiene el 66% de los votos, con lo cual la gente diría que fue «una paliza». Nadie cuestionaría al ganador, ni al método.
El resultado de Saari es aún más interesante, porque sostiene que es capaz de «inventar» escenarios más increíbles con más candidatos, en donde, por ejemplo, todos prefieren a A sobre B, pero que él logra que B sea el ganador. El trabajo del matemático apareció en un artículo que se llama «Una exploración caótica de paradojas de sumas» o bien, «A Chaotic Exploration of Aggregation Paradoxes ”, publicado en marzo de 1995, en el SIAM Review, o sea, por la Society for Industrial and Applied Mathematics (Sociedad para la Matemática Industrial y Aplicada).

15. Jura ética
Cada vez que en la facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires egresa algún alumno, debe jurar enfrente de sus pares y el decano de la facultad. En general, los juramentos se hacen por Dios y por la Patria; por Dios, la Patria y los Santos Evangelios; por el honor o por la Patria solamente. Las variantes son muchas pero esencialmente ésas son las principales.
Sin embargo, desde el año 1988, en la facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, un grupo de estudiantes, coordinados por Guillermo A. Lemarchand y apoyados por las autoridades de esa casa de altos estudios y por el Centro de Estudiantes, organizaron el Simposio Internacional sobre «Los Científicos, la Paz y el Desarme».
En plena vigencia de la Guerra Fría, se debatió el papel social que deben desempeñar los científicos y su responsabilidad como generadores de conocimientos que, eventualmente, podrían poner en peligro a la humanidad. Como resultado de ese Congreso se elaboró una fórmula de juramento de graduación, similar al juramento hipocrático de los médicos, mediante la cual los egresados de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales se comprometen a usar sus conocimientos en favor de la paz. Este juramento se realiza en forma optativa, afortunadamente lo eligen casi el 90% de los graduados, y su texto quedó redactado de la siguiente manera:

Teniendo conciencia de que la ciencia y en particular sus resultados pueden ocasionar perjuicios a la sociedad y al ser humano cuando se encuentran ausentes los controles éticos, Juráis que la investigación científica y tecnológica que desarrollaréis será para beneficio de la humanidad y a favor de la paz, que os comprometéis firmemente a que vuestra capacidad como científicos nunca servirá a fines que lesionen la dignidad humana guiándoos por vuestras convicciones y creencias personales, asentadas en auténtico conocimiento de las situaciones que os rodean y de las posibles consecuencias de los resultados que puedan derivarse de vuestra labor, no anteponiendo la remuneración o el prestigio, ni subordinándolos a los intereses de empleadores o dirigentes políticos?
Si así no lo hiciereis, vuestra conciencia os lo demande.

Creo que el texto es auto explicativo. Pero más allá de una jura simbólica, es una toma de posición frente a la vida. Como la celebro, la quería compartir aquí en este libro y ponerla a consideración de aquellas universidades que no tengan una fórmula de juramento como la que antecede.
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16. Cómo tomar un examen
Hace muchos años que me hago una pregunta: ¿es razonable el sistema de exámenes que se usa en la Argentina? O en todo caso, el tipo de exámenes que se utiliza hoy en día, en casi todo el mundo, ¿es razonable? (Me refiero a los exámenes en los colegios primarios y secundarios en particular.)
Yo sé que lo que voy a escribir tiene un costado provocativo y que muchos docentes (y muchos no docentes también) van a estar en desacuerdo. Pero no importa. Sólo pretendo llamar la atención sobre algunos puntos que creo vale la pena investigar. Y discutir. Creo que el siglo XXI será testigo de un cambio estructural en este rubro. Los estudiantes tendrán otra participación. La relación docente-alumno tiene que cambiar. Y los sistemas de evaluación también.
El examen tipo, el que conocemos habitualmente, en donde un profesor piensa una serie de problemas y el alumno tiene un determinado tiempo para contestarlos, tiene un componen de perverso difícil de disimular: una persona, generalmente un docente, tiene a un grupo de jóvenes o chicos a su merced y sutilmente abusa de su autoridad. El docente es quien establece todas las reglas y sus decisiones son casi inapelables. Así jugado, el juego es muy desparejo. Los jóvenes suelen estar a merced de este(a) señor(a) que ha decidido tomar en sus manos la tarea de «examinar». Nada menos.
Hasta hace relativamente poco, las maestras usaban las reglas para pegar a los niños en los nudillos o en las manos, les ataban el brazo izquierdo a los chicos para estimularlos a que es escribieran con la derecha y se transformaran en «normales», no se podía usar bolígrafo, ni secante, ni borrar, ni tachar, ni tener agujeros en la carpeta, etcétera. Se estimulaba a memorizar y se premiaba al joven rápido que recordaba mucho y se sacaba diez en todo. Se lo ponía como ejemplo de mejor persona porque parecía mejor alumno. Dentro de unos años, vamos a mirar hacia atrás y nos vamos a encontrar tan avergonzados como quienes se reconocen en los ejemplos anteriores.

EL EXAMEN DESDE UN ALUMNO
El docente es quien asume, entre sus tareas, la de averiguar si los alumnos estudiaron, se prepararon, si comprendieron, si dedicaron tiempo y esfuerzo… si saben. Pero en general suelen omitir una pregunta a ellos mismos muy importante: ¿los interesaron antes?
¿Quién tiene ganas de dedicar su tiempo, su energía y esfuerzo a algo que no le interesa? ¿Sabemos los docentes despertar curiosidad? ¿Quién nos preparó para eso? ¿Quién nos enseñó o enseña a generar apetito por aprender? ¿Quién se preocupa por bucear en los gustos o inclinaciones de los jóvenes para ayudarlos a desarrollarse por allí?
Hagan una prueba: tomen un niño de tres años y cuéntenle cómo se concibe una criatura. Es muy posible que si ustedes tienen buena sintonía con el niño, él los escuche, pero después salga corriendo a jugar con otra cosa. En cambio, si ustedes hacen las mismas reflexiones delante de un niño de seis o siete años, verán cómo el interés es diferente, la atención es distinta. ¿Por qué? Porque lo están ayudando a encontrar la respuesta a una pregunta que él ya se hizo. El mayor problema de la educación en los primeros niveles es que los docentes dan respuestas a preguntas que los niños no se hicieron; tener que tolerar eso es decididamente muy aburrido. ¿Por qué no prueban al revés? ¿Puede todo docente explicar por qué enseña lo que enseña? ¿Puede explicar para qué sirve lo que dice? ¿Es capaz de contar el origen del problema que llevó a la solución que quiere que aprendamos?
¿Quién dijo que la tarea del docente es sólo dar respuestas? La primera cosa que un buen docente debiera hacer es tratar de generar preguntas. ¿Ustedes se sentarían a escuchar respuestas a preguntas que no se hicieron? ¿Lo harían con ganas? ¿Lo harían con interés? ¿Cuánto tiempo le dedicarían? ¿Por qué lo harían? Para cumplir, por elegancia, por respeto, porque no les queda más remedio, porque están obligados, pero tratarían de escapar lo más rápido que pudieran. Los jóvenes o los niños no pueden. En cambio, si uno logra despertar la curiosidad de alguien, si le pulsa la cuerda adecuada, el joven saldrá en búsqueda de la respuesta porque le interesa encontrarla. La encontrará solo, se la preguntará al compañero, al padre, al maestro, la buscará en un libro, no sé. Algo va a hacer, porque está motorizado por su propio interés.
La situación, vista desde un alumno, podría resumirse así: «¿Por qué estoy obligado a venir en el momento que me dicen, a pensar en lo que me dicen, a no mirar lo que otros escribieron y publicaron al respecto, a no poder discutirlo con mis compañeros, a tener que hacerlo en un tiempo fijo, a no poder ir al baño si necesito hacerlo, a no poder comer si tengo hambre o beber si tengo sed, y encima puede que me sorprendan con preguntas sin darme tiempo para prepararlas?»
Puesto todo junto, ¿no luce patético? Es probable que varios alumnos no logren nunca resolver los problemas del examen que tienen delante, pero no porque desconozcan la solución, sino porque no lleguen nunca a superar todas las vallas que vienen antes.
Desde el año 1993 estamos haciendo una experiencia en la Competencia de Matemática que lleva el nombre de mi padre. Los alumnos de todo el país que se presentan a rendir la prue ba pueden optar por anotarse en pareja. Esto es: si quieren, pueden rendir individualmente, pero si no, pueden elegir un compañero o compañera para pensar los problemas en conjunto, buscarse alguien con quien discutir y polemizar los ejercicios. Este método, ¿no se parece más a la vida real? ¿No nos llenamos la boca diciendo que tratamos de fomentar el trabajo en grupo, las consultas bibliográficas, las interconsultas con otros especialistas, las discusiones en foros, los debates… en el mundo de todos los días? ¿Por qué no tratamos de reproducir estas situaciones en la ficción de un aprendizaje circunstancial?
En el colegio primario o secundario, en donde los maestros o profesores tienen un contacto cotidiano con los alumnos -si la relación interactiva docente-alumno funcionara efectivamente como tal- no entiendo las pruebas por sorpresa. ¿No es suficiente esa relación que dura meses para detectar quién es el que entendió y quién no? ¿Hace falta como método didáctico tirarles la pelota como si estuvieran jugando al distraído? Estos sistemas de examinación tienen un fuerte componente de desconfianza. Pareciera que el docente sospecha que el alumno no estudió o que no sabe, o que se va a copiar, y entonces lo quiere descubrir. Y allí empieza la lucha. Una lucha estéril e incomprensible, que exhibe la disociación más curiosa: nadie pelearía contra quien lo ayuda, ni trataría de engañarlo. Quizás el problema ocurra porque el alumno no logra descubrir que la relación está dada en esos términos, y como la responsabilidad mayor pasa por los que estamos de este lado, no hay dudas de que los que tenemos que cambiar somos nosotros.
No propongo el «no examen». Es obvio que para poder progresar en cualquier carrera, en cualquier estadio de la educación, uno tiene que demostrar -de alguna manera- que sabe lo que debería saber. Eso está fuera de discusión. Discrepo con la metodología, me resisto a este «tipo» de examen, sencillamente porque no tengo claro que mida lo que pretende medir.
De lo que sí estoy seguro, como escribí más arriba, es que en este siglo habrá muchos cambios al respecto. Pero hace falta que empecemos. Y una buena manera es empezar por casa, discutiendo por qué enseñamos lo que enseñamos, por qué enseñamos esto en lugar de esto otro, para qué sirve lo que enseñamos, qué preguntas contesta lo que enseñamos y aun más importante: ¿quién hizo las preguntas: el alumno o el docente?
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17. Niños prodigios
¿Qué significa ser un «niño prodigio»? ¿Qué condiciones hay que reunir? ¿Ser más rápido que tus pares o estar más adelantado, o ser más profundo, más maduro? ¿O es hacer más temprano lo que otros hacen más tarde o nunca?
Lo que me queda claro es que los humanos necesitamos categorizar, compartimentar. Eso nos tranquiliza. Si en promedio un niño empieza el colegio a los seis años, el secundario a los trece y la facultad cuando ya puede votar… cualquier «corrimiento» de lo preestablecido lo distingue, lo separa, lo «anormaliza». Mi vida fue distinta, pero yo no lo supe hasta que pasaron algunos años. Yo hice el primer grado de la escuela primaria como alumno libre y eso me permitió entrar en lo que hoy sería segundo grado cuando tenía todavía cinco años. Cuando terminé «quinto» me propusieron hacer el ingreso en el Colegio Nacional de Buenos Aires. Lo preparé, pero después no me dejaron rendir el examen porque dijeron que era demasiado pequeño: tenía diez años. Entonces, mientras cursaba sexto grado estudié todas las materias del primer año del secundario para rendirlas como alumno libre otra vez. Y lo hice. Por eso, entré con once años al segundo ciclo lectivo. Y luego, mientras cursaba el quinto año por la mañana hacía en paralelo el curso de ingreso a Ciencias Exactas por la noche. Es decir, hice mi primera incursión en una facultad cuando sólo tenía catorce años. Ah, me recibí como licenciado en matemática cuando tenía diecinueve y como doctor un poco más adelante. Y además estudiaba piano con el gran pianista argentino Antonio De Raco, quien me llevó a tocar La Tempestad de Beethoven en Radio Provincia cuando sólo tenía once años.
Ése es el racconto. Ahora, algunas reflexiones. Para los de alrededor yo entraba en la categoría de «prodigio»: ¡es un bocho en matemática!, ¡sabe logaritmos! (qué estupidez, por Dios). ¡Tenés que escucharlo tocar el piano! ¿Prodigio yo? Yo no tenía idea de lo que estaba haciendo. Me costaba conseguir las cosas igual que a mis compañeros. Es obvio que podía hacerlo, pero también es obvio que tenía todas las condiciones para poder desarrollarlo. En la casa que yo nací, con los padres que tuve, ¿cómo no me iba a desarrollar más rápido si no había virtualmente restricciones? ¿De qué prodigio me hablan? No desconozco los trastornos emocionales que puede acarrear tener compañeros mayores. Pero ¿la madurez es sólo una cuestión cronológica? Yo no recuerdo haber tenido problemas con eso. Y quería jugar a la pelota. Y lo hacía.
Aún hoy no encontré una buena definición de lo que es la «inteligencia», pero hay una fuerte tendencia entre los humanos a considerarla un bien «heredado» o «genético». Y eso lleva a la veneración. Y como no depende de uno, es inalcanzable: «Lo que Natura non da, Salamanca non presta». ¡Mentira! Yo me inclino por valorar las condiciones del medio ambiente donde un niño se desarrolla. Todos los niños nacen con habilidades, con destrezas. El problema reside en tener los medios económicos que permitan descubrirlas y un entorno familiar que las potencie y estimule. Yo lo tuve, y eso no me transformó en un prodigio, sino en un privilegiado.
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18. Historia de los cinco minutos y los cinco años
Un señor estaba trabajando en su fábrica, cuando, súbitamente, una de las máquinas vitales para su línea de producción se detuvo. El señor, acostumbrado a que esto sucediera algunas veces, intentó ver si podía resolver el problema. Probó con la electricidad, revisando el aceite que utilizaba la máquina, y probó tratando de hacer arrancar el motor en forma manual. Nada. La máquina seguía sin funcionar.
El dueño empezó a transpirar. Necesitaba que la máquina funcionara. La línea de producción completa estaba detenida porque esta pieza del rompecabezas estaba roto.
Cuando ya se habían consumido varias horas y el resto de la fábrica estaba pendiente de lo que pasaba con la máquina, el dueño se decidió a llamar a un especialista. No podía perder más tiempo. Convocó a un ingeniero mecánico, experto en motores. Se presentó una persona relativamente joven o, en todo caso, más joven que el dueño. El especialista miró la máquina un segundo, intentó hacerla arrancar y no pudo, escuchó un ruido que le indicó algo y abrió la «valijita» que había traído. Extrajo un destornillador, abrió una compuerta que no permitía ver al motor y se dirigió a un lugar preciso. Sabía dónde ir: ajustó un par de cosas e intentó nuevamente. Esta vez, el motor arrancó.
El dueño, mucho más tranquilo, respiró aliviado. No sólo la máquina sino que toda la fábrica estaban nuevamente en funcionamiento. Invitó al ingeniero a pasar a su oficina privada y le ofreció un café. Conversaron de diferentes temas pero siempre con la fábrica y su movimiento como tópico central. Hasta que llegó el momento de pagar.
-¿Cuánto le debo? -preguntó el dueño.
-Me debe 1.500 dólares.
El hombre casi se desmaya.
-¿Cuánto me dijo? ¿1.500 dólares?
-Sí -contestó el joven sin inmutarse y repitió-, 1.500 dólares.
-Pero escúcheme-, casi le gritó el dueño-. ¿Cómo va a pretender que le pague 1.500 dólares por algo que le llevó cinco minutos?
-No, señor -siguió el joven-. Me llevó cinco minutos y cinco años de estudios.

19. ¿Por qué escribí este libro?
Es una historia repetida. No importa dónde, no importa con quién, no importa cómo, siempre hay espacio para expresar el odio hacia la matemática. Pero ¿por qué? ¿Por qué genera tanta reacción contraria? ¿Por qué tiene tan mala prensa?
Como matemático me tropiezo muchísimas veces con las preguntas obvias: ¿para qué sirve? ¿Cómo se usa?… y ustedes pueden completar aquí con las propias. O peor aún: niños (y padres) dicen: «no entiendo nada», «me aburro», «nunca fui bueno para eso»… Así… «eso». La matemática es una especie de «eso» o eventualmente «ésa», que está poco menos que omnipresente en los colegios y escuelas, y que se exhibe como la torturadora universal.
La matemática es sinónimo de casi todos los momentos tristes de nuestro crecimiento escolar. Es sinónimo de frustración. Cuando éramos pequeños, nada exhibía mejor nuestra impotencia que un problema de matemática. Un poco más adelante, ya en los colegios secundarios, uno se encuentra con problemas de física y química, pero, esencialmente, las mayores dificultades están siempre asociadas con la matemática.
No conozco el dato exacto, pero apostaría a que si uno hiciera una revisión en todos los colegios secundarios y se hiciera la siguiente pregunta: dado un alumno que se lleva más de una asignatura a examen (sea en diciembre o en marzo), ¿en cuántos casos una de las dos será matemática, estoy seguro de que el resultado sería sorprendente. ¿Cuánto dará? ¿El 80% de los casos? ¿Más? Estoy seguro de que rondará ese número.
Un estudiante detecta rápidamente que la historia es algo que pasó. Le gustará o no, le interesará o no, pero pasó. Uno puede analizar los hechos del presente como una consecuencia de lo pasado. En todo caso, el estudiante (y el docente) podrán o no entender para qué les sirve estudiarla, pero el estudiante no necesita preguntarse qué es.
Con la biología lo mismo: las plantas están, los animales también, la clonación sale en los diarios y uno escucha hablar de ADN y la decodificación del genoma humano por televisión. Geografía, contabilidad, lenguaje, gramática, idioma… todo tiene una autoexplicación. La matemática no tiene abogado que la defienda. No hay ninguna otra asignatura de la currícula que se pueda comparar. La matemática pierde siempre. Y como no tiene buena prensa, se hace incomprensible que a uno lo obliguen a estudiarla. ¿Para qué?
Los propios padres de los jóvenes están de acuerdo, porque ellos mismos tuvieron malas experiencias también.
Para mí hay una conclusión obvia. Los peores enemigos que tiene la matemática somos los propios docentes, porque no logramos despertar en los jóvenes que tenemos enfrente la curiosidad mínima para poder disfrutarla. La matemática contiene una belleza infinita, pero si las personas que la tienen que disfrutar no la pueden ver, la culpa es de quien la expone.
Enseñar a disfrutar de pensar, de tener un problema, de regodearse aun cuando uno no puede encontrar la solución pero lo tiene como un desafío, es una tarea de los docentes. Y no es sólo un problema utilitario. No abogo por eso tampoco: no pretendo que alguien haga una lista de potenciales usos para convencer a la audiencia. No. Hablo de la magia de poder pensar, seducir mostrando lo que se ignora, desafiar a la mente.
Eso es lo que no tiene la matemática: no tiene quién la defienda.

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