Un poco de combinatoria y probabilidades

El número de resultados posibles al tirar una moneda es dos. Obviamente, cara y ceca. Si ahora tiramos dos monedas y queremos contar el número de resultados posibles, tenemos:
Cara – Cara
Cara – Ceca
Ceca – Cara
Ceca – Ceca

Es decir, hay cuatro resultados posibles. Noten la importancia del orden, porque si no habría sólo tres resultados posibles:

Cara-Cara
Cara-Ceca o Ceca-Cara (que serían el mismo)
Ceca-Ceca

Al tirar tres monedas, los casos posibles si importa el orden son 2 3 = 8.
En cambio, si no importa el orden sólo quedan cuatro casos. (Los invito a que piensen en cada caso por qué pasa esto; es más: los invito a que piensen qué pasaría si tirara n monedas y queremos calcular la cantidad de resultados posibles si importa y si no importa el orden). Y ahora pasemos a los dados.
El número de resultados posibles al tirar un dado es seis. El número de resultados posibles al tirar dos dados es:

6 x 6 = 6 2 = 36

Ahora bien: si uno tira un dado rojo primero y un dado verde después, ¿cuál es el número de resultados posibles en donde el dado verde dé un resultado diferente del rojo?
La respuesta es 6 x 5 = 30 (hagan la cuenta si no están convencidos)
Ahora, si tenemos tres dados, el número de resultados posibles es:

6 3 = 216

Pero si queremos que el resultado que apareció en el primero sea diferente del segundo y diferente del tercero, entonces los casos posibles son:

6 x 5 x 4 = 120

Estos ejemplos nos permiten pensar qué pasa en otros casos. Por ejemplo, cuando uno juega a la lotería. Se trata de extraer seis números entre el 1 y el 40, pero ordenados. Luego, los casos posibles son:

40 x 39 x 38 x 37 x 36 x 35 = 2.763.633.600 posibles.

Recuerden que la definición de probabilidad de que ocurra un evento resulta del cociente entre los casos favorables sobre los casos posibles.
De allí que la probabilidad de que salga cara al tirar una moneda es 1/2, porque hay un solo caso favorable (cara) y dos casos posibles (cara y ceca). La probabilidad de que salgan primero cara y después ceca al tirar dos monedas (siempre que importe el orden) es de 1/4, porque hay un solo caso favorable (cara-ceca) y cuatro casos posibles (cara-cara, cara-ceca, ceca-cara y ceca-ceca).
Ahora volvamos al ejemplo que aparece en los casos posibles de la lotería. Es interesante revisar este número, porque la probabilidad de ganar la lotería es ciertamente muy baja. Uno tiene una posibilidad entre más de dos mil setecientos sesenta millones. Es difícil, vea.
Si uno fuera generoso, y decide olvidarse del orden, uno tiene que dividir por 6! (¿recuerdan cuando definimos el número factorial?). Esto sucede porque una vez que uno eligió los seis números, hay 120 maneras de reordenarlos sin cambiarlos. Lo que en matemática se llama una permutación.
Luego, si uno divide el número (2.763.633.600) por 120, se obtiene 3.838.380. Es decir, si a uno lo dejaran jugar a la lotería extrayendo seis números entre los primeros cuarenta, pero sin importar el orden en que salen, entonces la probabilidad de ganar aumenta fuertemente. Ahora es una entre 3.838.380. Seguimos con el juego: pasemos ahora a los juegos de cartas. En un mazo de 52 cartas, ¿cuántas posibles manos de cinco cartas nos pueden tocar? (observen que cuando a uno le reparten cartas en un juego, el orden es irrelevante. Lo que importa es la mano que se obtuvo y no el orden en el que las tiene tomadas con la mano). El resultado es:

52 x 51 x 50 x 49 x 48 / (5!) = 2.598.960

Si ahora la pregunta es de cuántas maneras me pueden tocar cuatro ases, la respuesta es 48, ya que ésas son las únicas posibilidades para la quinta carta (las otras cuatro ya están elegidas: son ases, y como en total eran 52 cartas menos los cuatro ases, quedan 48). La probabilidad de que toque una mano con cuatro ases es 48/(2.598.960) que es casi 1 en 50.000. O sea que para los que juegan al póquer y tienen intriga por saber cuál es la probabilidad de tener un póquer de ases, es bastante baja también (estoy suponiendo que se reparten sólo cinco cartas y que no hay reposiciones. Esto lo escribo para los puristas que van a observar que uno puede desprenderse de ciertas cartas y pedir otras).
¿Y si uno quisiera saber la probabilidad de tener un póquer de reyes? ¿Variaría la probabilidad? La respuesta es no, porque que las cartas que se repitan sean ases o reyes o reinas o lo que sea no modifica en nada el argumento que se usa. Lo hace más pintoresco, en todo caso.
El que sigue es un hecho importante: si dos eventos son independientes, en el sentido que el resultado de uno es independiente del resultado del otro, entonces la probabilidad de que ambos sucedan se obtiene multiplicando las probabilidades de ambos.
Por ejemplo, la probabilidad de que salgan dos caras en dos tiradas de una moneda es:

(1/2) x (1/2) = 1/4

(hay cuatro casos posibles: cara-cara, cara-ceca, ceca-cara y ceca-ceca; de ellos, sólo uno es favorable: cara-cara. De allí el 1/4).
La probabilidad de que salga un número en la ruleta es:

1/37 = 0,027…

La de que salga un número «colorado» es 18/37 = 0,48648… Pero que salga cinco veces seguidas «colorado» está medida por

(0.48648) 5 = 0,027…

O sea, el 2,7% de las veces. Éste es un episodio importante, porque lo que estamos midiendo tiene que ver con la probabilidad de que salgan cinco números «colorados» seguidos. Pero la probabilidad está calculada antes de que el crupier empiece a tirar. Eso no es lo mismo que saber que si uno llega a jugar a una mesa de ruleta en un casino y pregunta «¿qué salió hasta acá?» Si le contestan que salieron cuatro números «colorados» seguidos, eso no afecta la probabilidad del número que está por salir: la probabilidad de que salga «colorado» es 18/37 = 0,48648… otra vez, y de que salga negro es también 18/37 = 0,48648… Y de que salga cero es 1/37 = 0,027027…
Pasemos ahora de juegos a personas (que pueden estar jugando juegos). Si una persona es tomada al azar, la probabilidad de que no hubiera nacido en el mes de julio es de 11 / 12 = 0,9166666… (Es decir, hay casi un 92% de posibilidades de que no haya nacido en julio.). Pero la probabilidad tiene que ser un número mayor o igual que cero y menor o igual que uno. Por eso, si uno habla en términos probabilísticos, debe decir: la probabilidad es 0,916666… En cambio, si uno prefiere hablar de porcentajes, debe decir que el porcentaje de posibilidades de que no hubiera nacido en julio supera el 91,66%.
(Nota: la probabilidad de que un evento suceda es siempre un número entre cero y uno. En cambio, el porcentaje de posibilidades de que ese mismo evento suceda, es siempre un número entre 0 y 100.)
Si uno toma cinco personas al azar, la probabilidad de que ninguna haya nacido en julio es

(11/12) 5 = 0,352…

o sea, aproximadamente el 35,2% de las veces. Entienda esto bien: dadas cinco personas al azar la probabilidad de que ninguna de las cinco haya nacido en julio es aproximadamente 0,352 o, lo que es lo mismo, en más del 35% de las veces ninguna de las personas nació en julio.
Como escribí antes, que el mes en consideración sea julio es irrelevante. Lo mismo serviría para cualquier mes. Pero eso sí: hay que determinarlo de antemano. La pregunta (para que tenga la misma respuesta) tiene que ser ¿cuál es la probabilidad de que tomando cinco personas al azar, ninguna de las cinco hubiera nacido en el mes de… (y el lugar en blanco es para que sea rellenado por cualquier mes)?
Volvamos a los dados. ¿Qué es más probable: sacar al menos un 6 al tirar cuatro dados o sacar dos seis al tirar dos dados, si uno los tira 24 veces?
La probabilidad de «no» sacar un 6, es

5/6 = 0,833…

En este caso, como se tira cuatro veces el dado, la probabilidad de «no» sacar un 6 es:

(5/6) 4 = 0,48…

Luego, la probabilidad de sacar al menos un 6 al tirar un dado cuatro veces es aproximadamente

1 – 0,48 = 0,52

Por otro lado, la probabilidad de «no» sacar dos seis al tirar dos dados, es

(35/36) = 0,972…

(los casos favorables de no sacar dos seis, son 35 de los 36 posibles).
De acuerdo con lo que aprendimos hasta aquí, si uno va a iterar el proceso 24 veces, se tiene el siguiente número:

(0,972) 24 = 0,51…

Es decir, la probabilidad de sacar dos números seis al tirar dos dados 24 veces, es

1 – (0,51) = 0,49…

MORALEJA: es más probable sacar un seis al tirar un dado cuatro veces que sacar dos seis tirando dos dados 24 veces.

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