¿Un atentado contra el teorema fundamental de la aritmética?

El teorema fundamentad de la aritmética dice que todo número entero (diferente de +1, -1 ó 0) o bien es primo, o bien se puede descomponer como el producto de números primos. Ejemplos:
14 = 2 x 7
25 = 5 x 5
18 = 2 x 3 x 3
100 = 2 x 2 x 5 x 5
11 = 11 (ya que 11 es primo)
1.000 = 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5
73 = 73 (ya que 73 es primo)

Es más: el teorema dice que la descomposición en primos es única, salvo el orden en que se escriben (algo así como que el orden de los factores no altera el producto). Sin embargo, tengo algo para proponer. Observen el número 1.001, que se puede escribir de estas dos maneras:
1.001 = 7 x 143
y también
1.001 = 11 x 91

¿Qué es lo que funciona mal? ¿Es que acaso falla el teorema?

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