Probabilidades de cumpleaños

Ya sabemos que debería haber 367 personas en una habitación para poder afirmar que al menos dos personas cumplen años el mismo día.
Ahora, cambiamos la pregunta: ¿Qué pasaría si nos quedáramos contentos con que la probabilidad de que haya dos que cumplan años el mismo día, sea mayor que 1/2? O sea, si nos satisface con saber que el porcentaje de posibilidades es mayor que el 50%, ¿cuántas personas debería haber?
Mirémoslo de esta manera: si hubiera dos personas, la probabilidad de que no hayan nacido el mismo día se calcula así:

(365/365) * (364/365) = (364/365) = 0,99726…

¿Por qué se calcula así la probabilidad? Elijamos una persona cualquiera. Esa persona nació uno de los 365 días del año (estamos obviando los años bisiestos, pero la cuenta serviría igual si incluyéramos 366 días). De todas formas, esa persona tuvo que haber nacido uno de los 365 días del año.
Ahora bien, si elegimos otra persona, ¿cuántos casos posibles hay de que no hayan nacido el mismo día?
Es lo mismo que calcular cuántos pares de días distintos se pueden elegir en el año. En cualquier orden. Es decir, para el primero, hay 365 posibilidades. Para el segundo en el par, quedan 364 (ya que alguno tuvo que haber sido usado para la otra persona).
Por lo tanto, los casos favorables en el caso de dos personas (donde favorable significa que no hubieran nacido el mismo día), es de

365 * 364 = 132.860

¿Y cuántos son los casos posibles? Bueno, los casos posibles son todos los posibles pares de días que se puedan formar en el año. Por lo tanto, son

365 * 365 = 133.225

Luego, si la probabilidad de que un evento ocurra se calcula dividiendo los casos favorables sobre los casos posibles, se tiene:

(365.364) / (365.365) = 132.860/133.225 = 0,997260273973…

Si ahora tuviéramos tres personas y queremos que ninguna de las tres haya nacido el mismo día, los casos favorables ahora son todas las posibles ternas de días del año sin repetición. O sea

365 * 364 * 363 = 48.228.180

¿Por qué? Porque para el primer lugar (o para una de las personas) hay 365 posibilidades. Para la segunda persona, ahora quedan 364 posibilidades (ya que no queremos que coincida con el de la primera). O sea, como vimos antes, 365. 364. Y ahora, para la tercera persona, los días posibles que quedan para no repetir son 363.
Por lo tanto, las ternas posibles sin repetir el día son:

365 * 364 * 363

En cambio, los casos posibles, o sea, las ternas posibles de días que podernos elegir en el año son:

365 * 365 * 365 = 365 3 = 48.627.125
Luego, la probabilidad de que dadas tres personas ninguna de las tres haya nacido el mismo día es:

(365 * 364 * 363)/365 3 = 0,991795834115…

Si siguiéramos con cuatro personas, los casos posibles de cuaternas de días del año sin repetir son:

365 * 364 * 363 * 362 = 17.458.601.160

y los casos posibles son:

365 * 365 * 365 * 365 = 365 4 = 17.748.900.625

Es decir, la probabilidad de que cuatro personas hubieran nacido en cuatro días diferentes del año es:

(365 * 364 * 363 * 362)/365 4 = 17.458.601.160117.748.900.625 = 0,983644087533…

Si uno siguiera con este proceso, ¿cuántas veces tendría que iterarlo para que la probabilidad de que ningún par de personas del grupo que cumplió años el mismo día sea inferior a 1/2 = 0,5?
La respuesta es 23 y, por lo tanto, si uno elige cualquiera de un grupo de 23 personas, la probabilidad de que haya dos que cumplan años el mismo día es superior al 50%… Será cuestión de hacer la prueba…
Así siguiendo es que intentamos llegar a que el número que resulte de este cociente sea menor que 0,5. A medida que uno aumenta el número de personas, la probabilidad de que hubieran nacido en días diferentes va disminuyendo. Y el número que encontramos más arriba indica que cuando uno tiene 23 personas, la probabilidad de que hayan nacido en días diferentes es menor que 1/2. O dicho de otra manera: si uno tiene un grupo al azar de 23 personas, la probabilidad de que dos hayan nacido el mismo día es mayor que 1/2. O si usted prefiere, sus chances son mayores que el 50%. Y este dato, fuera del contexto que estamos analizando, era impensable, ¿no les parece?
Y si quieren poner esto a prueba, la próxima vez que participen de un partido de fútbol (once jugadores por equipo, un árbitro y dos jueces de línea), hagan el intento. Tienen más de 50% de posibilidades de que con las 25 personas haya dos que cumplan años el mismo día. Como esto es claramente anti-intuitivo para muchos de los que participen del partido, quizás ustedes puedan ganar alguna apuesta.

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