Primos gemelos

Sabemos que no puede haber primos consecutivos, salvo el par {2, 3}. Esto resulta obvio si uno piensa que en cualquier par de números consecutivos, uno de ellos será par. Y el único primo par es el 2. Luego, el único par de primos consecutivos es el {2, 3}.
Ahora bien: si bien uno sabe que no va a encontrar primos consecutivos, ¿qué pasa si uno se saltea uno? Es decir, ¿hay dos impares consecutivos que sean primos? Por ejemplo. los pares {3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19} son primos, y son dos impares consecutivos.
Justamente se llama primos gemelos a dos números primos que difieren en dos unidades, como en los ejemplos que acabamos de ver. O sea, son de la forma {p, p+2}.
El primero en llamarlos «primos gemelos» fue Paul Stackel (1892-1919). tal como aparece en la bibliografía que publicó Tietze en 1965.
Más pares de primos gemelos:

{29, 31}, {41, 43}, {59, 61 }, {71, 73}, {101, 103}, {107, 109}, {137, 139}, {149, 151}, {179, 181}, {191, 193}, {197, 199}, {227, 229}, {239, 241}, {281, 283},..

La conjetura es que hay infinitos primos gemelos. Pero hasta hoy, agosto de 2005, todavía no se sabe si es cierto.
El par de primos gemelos más grande que se conoce hasta hoy es

(33,218,925) x 2 169.690 – 1 y (33,218,925) x 2 169.690 + 1

Son números que tienen 51.090 dígitos y fueron descubiertos en el año 2002. Hay muchísimo material escrito sobre este tema, pero aún hoy la conjetura de la infinitud de primos gemelos sigue sin solución.
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19. Lagunas de primos
Uno de los problemas más interesantes de la matemática es tratar de descubrir un patrón en la distribución de los números primos.
Es decir: ya sabemos que son infinitos. Ya vimos también qué son los primos gemelos. Miremos ahora los primeros cien números naturales. En este grupo hay 25 que son primos (aparecen en bastardilla y negrita ). Es fácil encontrar tres números consecutivos que no sean primos: {20, 21, 22}. Hay más en la lista, pero no importa. Busquemos ahora una tira de cuatro números consecutivos que no sean primos: {24, 25, 26, 27} sirven (aunque todavía está el 28 para agregar de la lista). Y así siguiendo, uno puede encontrar «tiras» de números (consecutivos) de manera tal que sean «no primos” o «compuestos».

2 , 3 , 4, 5 , 6, 7 , 8, 9, 10, 11 ,12, 13 , 14,15, 16, 17 , 18, 19 , 20, 21, 22, 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29 , 30, 31 , 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43 , 44, 45, 46, 47 , 48, 49, 50, 51, 52, 53 , 54, 55, 56, 57, 58, 59 , 60, 61 , 62, 63, 64, 65, 66, 67 , 68, 69, 70, 71 , 72, 73 , 74, 75, 76, 77, 78, 79 , 80, 81, 82, 83 , 84, 85, 86, 87, 88, 89 , 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97 , 98, 99, 100

La pregunta es: las tiras, ¿pueden tener cualquier longitud? Es decir: sí yo quiero encontrar diez números consecutivos tal que ninguno sea primo, ¿la podré encontrar? Y si quiero encontrar cien seguidos, todos compuestos? ¿Y mil?
Lo que quiero tratar de contestar es que en verdad uno puede «fabricarse» tiras de números consecutivos tan grande como uno quiera, de manera que ninguno de ellos sea un número primo. Este hecho des bastante singular, teniendo en cuenta que el numero de primos es infinito. Sin embargo, veamos cómo hacer para demostrarlo.
Primero, quiero dar aquí una notación que es muy útil y muy usada en matemática: se llama factorial de un número n, y se escribe n! , al producto de todos los números menores o iguales que n. Por ejemplo:

1 ! = 1 (y se lee, el factorial de 1 es igual a 1)
2! = 2 x 1 = 2 (el factorial de 2 es igual a 2)
3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 (el factorial de 3 es igual a 6)
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Como se ve, el factorial va aumentando muy rápidamente. En general,

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x 4 x 3 x 2 x 1

Aunque parezca que esta definición es arbitraria y no se entienda muy claramente su utilidad, definir el factorial de un número es una necesidad para atacar cualquier problema de combinatoria, o sea, cualquier problema que involucre contar. Pero, una vez más, eso escapa al objeto de este libro,
Ahora bien: es bueno notar (e importante que ustedes lo piensen) que el factorial de un número n es, en realidad, un múltiplo de ti y de todos los números que lo preceden. Es decir:
3! = 3 x 2, es un múltiplo de 3 y de 2
4! = 4 x 3 x 2, es un múltiplo de 4, como de 3, como de 2
5! = 5 x 4 x 3 x 2 = es un múltiplo de 5, de 4, de 3 y de 2.
Luego,
n! es un múltiplo de n, (n-1), (n-2), (n-3), … 4, 3 y de 2.

Una última cosa antes de atacar el problema de las «tiras» de números compuestos o «no primos». Si dos números son pares, su suma es par. O sea. si dos números son múltiplos de 2, la suma también. Si dos números son múltiplos de 3, la suma también. Si dos números son múltiplos de 4, la suma también. ¿Descubren la idea general’?
Si dos números son múltiplos de k, entonces la suma es también múltiplo de k (para cualquier k) (les propongo que hagan ustedes la demostración, que es muy fácil).
Resumo:
el factorial de n (o sea, n!) es múltiplo del número n y de todos los números menores que n
si dos números son múltiplos de k, entonces la suma también.

Con estos dos datos, vamos a la carga.
Como entrenamiento, voy a hacer algunos ejemplos con la idea que quien esté leyendo esto sienta que puede «conjeturar» la forma de hacerlo en general.
Busquemos sin necesidad de mirar en la tabla de los primos y «no primos» o compuesto, tres números compuestos consecutivos * :
4! + 2
4! + 3
4! + 4
Estos tres números son consecutivos. Ahora descubramos que, además, son compuestos. Miremos el primero: 4! + 2. El primer sumando, 4! es múltiplo de 2 (por la parte a). Por el otro lado, el segundo sumando, 2, es obviamente múltiplo de 2. Luego, por la parte b), la suma de los dos números (4! + 2) es múltiplo de 2.
El número 4! + 3 está compuesto de tres sumandos. El primero, 4!, por la parte a), es múltiplo de 3. Y el segundo sumando, 3, es también múltiplo de 3. Por la parte b) entonces. la suma (4! + 3) es múltiplo de 3,
El número 4! + 4 está compuesto también por dos sumandos. El primero, 4! por la parte a), es múltiplo de 4. Y el segundo sumando, 4, es también múltiplo de 4. Por la parte b) entonces, la suma (4! + 4) es múltiplo de 4.
En definitiva, los tres números que aparecen en (*) son consecutivos y ninguno de los tres puede ser primo, porque el primero es múltiplo de 2, el segundo de 3 y el tercero de 4.
Con la misma idea, construyamos ahora diez números consecutivos que no sean primos, o bien construyamos diez números consecutivos que sean compuestos.
Entonces procedemos así:

11! + 2 (es múltiplo de 2)
11! + 3 (es múltiplo de 3)
11! + 4 (es múltiplo de 4)
11! + 5 (es múltiplo de 5)
11! + 6 (es múltiplo de 6)
11! + 7 (es múltiplo de 7)
11! + 8 (es múltiplo de 8)
11! + 9 (es múltiplo de 9)
11! + 10 (es múltiplo de 10)
11! + 11 (es múltiplo de 11)

Estos diez números son consecutivos y compuestos. Luego, cumplen con lo pedido. Si ahora yo les pidiera que ustedes fabricaran cien números consecutivos compuestos, ¿lo podrían hacer? Yo estoy seguro que sí, siguiendo la idea de los dos ejemplos anteriores.
En general, si uno tiene que fabricar n números consecutivos compuestos, hace lo siguiente:

(n+1)! + 2
(n+1)! + 3
(n+1)! + 4
(n+1)! + 5

(n+1)! + n
(n+1)! + (n+1)

Estos números son n (y les pido que los cuenten, háganme caso, porque no los veo muy convencidos…) y son consecutivos; además, el primero es múltiplo de 2, el siguiente de 3, el siguiente de 4, y así siguiendo, hasta el último que es múltiplo de (n+ 1),
Es decir, esta lista cumple con lo que queríamos: hemos encontrado n números consecutivos compuestos.
MORALEJA: esto demuestra que si uno empieza a trabajar con números grandes, muy grandes, aparecen muchos, muchos (y no hay error de imprenta… son muchos en serio) números compuestos. Pero, a la vez, esto dice que se pueden encontrar lagunas de primos. O sea, una laguna es un segmento de los números naturales en donde no hay ningún primo.
Creo que después de la explicación de más arriba, ustedes están en condiciones de aceptar cualquier desafío de encontrar lagunas (tan grandes como les sean propuestas).
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20. El número e
Quiero plantear aquí un problema que tiene que ver con poner dinero en un banco que rinda un determinado interés. Para hacer la exposición más clara, voy a tomar un ejemplo. Vamos a suponer que una persona tiene un capital de un peso. Y vamos a suponer también que el interés que le pagan anualmente por ese peso es del 100%. Ya sé… con este interés, uno sabe que el banco se funde antes de empezar y que el ejemplo está condenado al fracaso. Pero igualmente, síganme que es interesante.

Capital: 1 peso
Interés: 100% anual

Si uno hace la inversión en el banco y se va a su casa, ¿cuanto dinero tiene cuando vuelve justo al año? Claro, como el interés es del 100%, al año el señor tiene dos pesos: uno que corresponde a su capital y otro que es producto del interés que le pagó el banco. Hasta acá, todo claro:

Capital al cabo de un año: 2 pesos

Supongamos ahora que el señor decide poner su dinero no a un año, sino sólo a seis meses. El interés (a lo largo de todo este ejemplo) permanecerá constante: siempre será de un 100%. Al cabo de seis meses entonces, el señor ¿cuanto dinero tiene? ¿Está claro que tiene 1,5 pesos?
Esto es porque el capital permanece intocable: sigue siendo un peso. En cambio, como el interés es del 100% pero sólo dejó el dinero invertido la mitad del año, le corresponde un interés de la mitad de lo que invirtió y, por eso, le corresponden $ 0,50 de interés. Es decir, su nuevo capital es de $ 1,5. Si ahora el señor decide reinvertir su nuevo capital en el mismo banco, con el mismo interés (100%) y por otros seis meses de manera de llegar nuevamente al año como antes, ¿cuánto dinero tiene ahora?

Nuevo capital: 1,5
Interés: 100% anual
Plazo que lo deposita: 6 meses

Al finalizar el año, el señor tiene

1,5 + 1/2 x (1,5) = 2,25

¿Por qué? Porque el capital que tenía a los 6 meses iniciales, no se toca: $ 1,5. El nuevo interés que cobra es de la mitad del capital, porque el dinero lo pone a un interés del 100% pero sólo por seis meses. Por eso, tiene 1/2 x (1,5) = 0,75 como nuevo dinero que le aporta el banco como producto de los intereses devengados.
MORALEJA: al señor le conviene (siempre que el banco se lo permita) depositar el dinero primero a seis meses y luego renovar el plazo fijo a otros seis meses. Si comparamos con lo que le hubiera tocado en el primer caso, al finalizar el año tenia dos pesos. En cambio, reinvirtiendo en la mitad, al cabo de 365 días tiene $ 2,25.
Supongamos ahora que el señor coloca el mismo peso que tenía originalmente, pero ahora por cuatro meses. Al cabo de esos cuatro meses, reinvierte el dinero, pero por otros cuatro meses. Y finalmente, hace una última reinversión (siempre con el mismo capital) hasta concluir en el año. ¿Cuánto dinero tiene ahora?
Yo sé que ustedes pueden seguir leyendo en esta misma página y encontrar la solución, pero siempre es deseable que los lectores hagan un mínimo esfuerzo (si así lo desean) de pensar solos. De todas maneras, aquí va. Veamos si se entiende.
Al principio del año el señor tiene:
1

A los cuatro meses (o sea, transcurrido 1/3 del año) tiene:

(1 + 1/3)

A los siguientes cuatro meses (ocho desde el comienzo) tiene:

(1+1/3) + 1/3 (1+1/3) = (1+1/3) x (1+1/3) = (1+1/3) 2

(Esto sucede porque a los cuatro meses el capital es de (1+1/3) y al cabo de otros cuatro meses, tendrá el capital más un tercio de ese capital.
La cuenta que sigue después, (1+1/3) 2 , se obtiene de «sacar factor común» (1 +1 /3) en el término de la izquierda en la ecuación.
Ahora bien: cuando el señor invierte (1+1/3) 2 por otros cuatro meses, al llegar justo al fin del año, el señor tendrá el capital (1 +1/3) 2 más (1/3) de ese capital. O sea:

(1+1/3) 2 + 1/3(1+1/3) 2 = (1+1/3) 2 x (1+1/3) = (1+1/3) 3 = 2,37037037…

Como seguramente advierten, ahora nos queda la tentación de hacerlo no sólo cada cuatro meses, sino cada tres meses. Los invito a que hagan la cuenta ustedes, pero el resultado lo escribo yo. Al cabo de un año, el señor tendrá:

(1 + 1/4) 4 = 2,44140.625

Si lo hiciera cada dos meses, tendría que reinvertir su dinero seis veces en el año

(1 + 1/6) 6 = 2,521626372…

Si lo hiciera una vez por mes, reinvertiría doce veces por año

(1+1/2) 12 = 2,61303529…

Como usted ve, al señor le conviene poner su dinero a plazo fijo, pero hacerlo con un plazo cada vez más corto y reinvertir lo que obtiene (siempre con el mismo interés).
Supongamos que el banco le permitiera al señor renovar su plazo diariamente. En este caso, el señor tendría

(1 +1/365) 365 = 2,714567482…

Y si lo hiciera una vez por hora (como en el año hay 8.760 horas), tendría:

(1+1/8.760) 8.760 = 2,718126692…

Y si se le permitiera hacerlo una vez por minuto, como en el año hay 525.600 minutos, su capital resultaría

(1+1/525.600) 525.600 = 2,718279243

Y por último, supongamos que le permitieran hacerlo una vez por segundo.
En ese caso, como en el año hay 34.536.000 segundos, el capital que tendría al cabo de un año sería:

(1+1/34.536.000) 34.536.000 = 2,718281793…

MORALEJA: si bien uno advierte que el dinero al finalizar el año es cada vez mayor, sin embargo, el dinero que uno tiene al final no aumenta indiscriminadamente.
Voy a hacer un resumen de la lista que hemos escrito recién:

1 vez al año,
2 veces al año,
3 veces al año (cuatrimestral),
4 veces al año (trimestral),
6 veces al año (bimestral),
12 veces al año (mensual),
365 veces al año (diario),
8.760 veces al año (por minuto),
525.600 veces al año (una vez por minuto),
34.536.000 veces al año (una vez por segundo), 2
2,25
2,37037037…
2,44140625…
2,521626372…
2,61303529…
2,714567482…
2,718126692…
2,718279243…
2,718281793…

Lo que es muy interesante es que estos números, si bien crecen cada vez que el interés se cobra más frecuentemente, no lo hacen en forma ni arbitraria ni desbocada. Al contrario: tienen un tope, están acotados. Y la cota superior (es decir, si uno pudiera imaginariamente estar renovándolo instantáneamente) es lo que se conoce como el número e (que es la base de los logaritmos naturales, cosa que no importa en este contexto). No sólo es una cota superior, sino que es el número al cual se está acercando cada vez más la sucesión que estamos generando al modificar los plazos de reinversión.
El número e es un número irracional, cuyas primeras cifras decimales son:

e = 2,718281828…

El número e es uno de los números más importantes de la vida cotidiana, aunque su relevancia está generalmente escondida para el gran público. En algún otro momento y lugar, habría que divulgar mucho más sobre él. Por ahora, nos contentamos con celebrar su aparición en este escenario, mostrándolo como el límite (y también la cota superior) del crecimiento de un capital de $ 1 a un interés del 100% anual y renovado periódicamente.
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21. Distintos tipos de infinito
CONTAR
Un niño, desde muy pequeño, sabe contar. Pero ¿qué quiere decir contar? En realidad, dado un conjunto de objetos cualquiera, digamos los discos que alguien tiene en su colección, ¿cómo hace para saber cuántos tiene? La respuesta parece obvia (y en realidad, parece porque lo es). Pero quiero contestarla. La respuesta es: para saber cuántos discos tiene uno en su colección, lo que tiene que hacer es ir y contarlos.
De acuerdo. Es un paso que había que dar. Pero ¿qué quiere decir contar? Van al sitio donde tienen guardados los discos y empiezan: 1, 2, 3,… etcétera.
Pero:
Para poder contar se necesita conocer los números (en este caso, los números naturales).
Los números que usamos están ordenados, pero a nosotros el orden no nos interesa, ¿Se entiende esto? A ustedes sólo les importa saber cuántos tienen y no en qué orden está cada uno. Si yo les pidiera que los ordenaran por preferencia, entonces sí importaría el orden. Pero para saber cuántos hay, el orden es irrelevante.
Ustedes saben que el proceso termina. Es decir, su colección de discos, por más grande que sea, en algún momento se termina.

Ahora supongamos que estamos dentro de un cine. Todavía no ha llegado nadie para presenciar la próxima función. Sabemos que hay mucha gente en la calle haciendo cola y esperando que se abran las puertas.
¿Cómo haríamos para saber si las butacas que tiene el cine alcanzarán para poder sentar a las personas que esperan afuera? O, en todo caso, ¿cómo haríamos para saber si hay más butacas que personas, o más personas que butacas, o si hay la misma cantidad? Evidentemente, la respuesta inmediata que todo el mundo está tentado a dar es: «Vea. Yo cuento las butacas que hay. Después cuento las personas. Y para terminar el proceso, comparo los números».
Pero eso requiere contar dos conjuntos, Es decir: hay que contar las butacas y luego (o antes) hay que contar las personas, ¿Es necesario saber contar para poder contestar si hay más butacas que personas, o personas que butacas o la misma cantidad? La respuesta que podríamos dar es la siguiente: abramos las puertas del cine, permitamos a la gente que entre y se siente en el lugar que quiera, y cuando el proceso termine, repito, cuando el proceso termine (ya que tanto las butacas como las personas son conjuntos finitos), nos fijamos si quedan butacas vacías; eso significa que había más butacas que personas. Si hay gente parada sin asiento (no se permite más de un asiento por persona), entonces había más gente que lugar. Y si no sobra ninguna butaca y nadie está parado, eso quiere decir que había el mismo número de butacas que de personas, Pero lo notable de esto es que uno puede dar la respuesta sin necesidad de haber contado. Sin necesidad de saber cuál es ni el número de personas ni el número de butacas.Éste no es un dato menor en este contexto: lo que uno está haciendo es aparear a los dos conjuntos. Es como si tuviéramos dos bolsas: una en donde están las personas y otra en donde están las butacas. Y lo que hacemos es trazar «flechitas» que le «asignen» a cada persona una butaca. Sería el equivalente a cuando uno compra una entrada en el cine. Si sobran entradas o si faltan entradas o si hay la misma cantidad, es en realidad una manera de haber trazado las flechitas. Pero lo bueno de este proceso es que no hace falta saber contar.
El segundo paso importante es que cuando yo quiera comparar el número de elementos de dos conjuntos, no necesito saber contar. Lo que tengo que hacer es aparearlos, establecer flechitas entre uno y otro.
Sólo para ponemos de acuerdo con las notaciones, vamos a llamar cardinal de un conjunto A (y lo vamos a notar #(A)) al número de elementos de ese conjunto,
Por ejemplo,

(el cardinal del conjunto «jugadores titulares de un equipo de fútbol profesional») = # {jugadores titulares de un equipo de fútbol profesional} = 11,
(el cardinal del conjunto «presidentes de la nación») = # {presidentes de la nación}=1,
(el cardinal del conjunto «universidades nacionales en la argentina») = #{universidades nacionales en la argentina} = 36,
(el cardinal del conjunto «puntos cardinales») = # {puntos cardinales} = 4.

Como hemos visto, si queremos comparar los cardinales de dos conjuntos no hace falta saber el cardinal de cada uno para saber cuál es el más grande o si sor iguales, Basta con aparear los elementos de cada uno. Debe quedar claro, entonces, que para comparar cardinales uno se libera del proceso de contar. Y esto será muy importante cuando tengamos que «generalizar» la noción de contar, justamente.
Una última observación antes de pasar a los conjuntos infinitos. Los números naturales son los conocidos e hiper-mencionados en este libro:

N={1, 2, 3, 4, 5…}

Vamos a llamar segmento de los naturales de longitud n al subconjunto (1, 2, 3,…, (n-2), (n-1), n}. A este segmento lo vamos a denotar [1, n]
Por ejemplo, el segmento natural de longitud cinco,

[1, 5] = {1, 2, 3, 4, 5}
[1, 35] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 30, 31, 32, 33, 34, 35}
[1, 2] = {1, 2}
[1, 1] = {1 }

Creo que se entiende entonces que todos estos «segmentos naturales» o «segmentos de números naturales» comienzan con el número uno; la definición entonces es:

[1, n] = {1, 2, 3, 4, 5,…, (n-3), (n-2), (n-1), n}.
En realidad podemos decir que contar los elementos de un conjunto finito significa «aparear» o coordinar o «poner las flechitas» entre los elementos del conjunto que nos dieron y algún segmento natural. Dependiendo del n vamos a decir que el conjunto tiene cardinal n. O, lo que es lo mismo, vamos a decir que el conjunto tiene n elementos.
Una vez entendido esto, ya sabemos entonces lo que son los conjuntos finitos. Lo bueno es que también podemos aprovecharnos de esta definición para entender lo que significa un conjunto infinito.
¿Qué definición dar? Intuitivamente, y antes que yo escriba una definición tentativa, piensen un instante: ¿cuándo dirían que un conjunto es infinito? Y por otro lado, cuando piensan en esa definición, ¿en qué conjunto piensan?, ¿qué ejemplo tienen a mano?
La definición que voy a dar de conjunto infinito les va a parecer sorprendente, pero lo curioso es que es la más obvia: vamos a decir que un conjunto es infinito si no es finito. ¿Qué quiere decir esto? Que si nos dan un conjunto A y nos piden que decidamos si es finito o infinito, lo que tino tiene que tratar de hacer es buscar un segmento natural para coordinarlo o aparearlo con él. Si uno encuentra algún número natural n, de manera tal que el segmento [1, n] y el conjunto A se pueden aparear, uno tiene la respuesta: el conjunto es finito. Pero, si por más que uno trate, no puede encontrar el tal segmento natural, o lo que es lo mismo, cualquier segmento natural que uno busca siempre se queda corto, entonces es porque el conjunto A es infinito.
Ejemplos de conjuntos infinitos:

Los números naturales (todos)
Los números pares
Los números múltiplos de cinco
Los puntos de un segmento
Los puntos de un triángulo
Los números que no son múltiplos de 7.

Los invito a que busquen otros ejemplos. 1212 Hablemos ahora un poco de los conjuntos infinitos. En este mismo libro hay \.-arios ejemplos (hotel de Hilbert, cantidad y distribución de los números de primos) que atentan contra la intuición. Y eso es maravilloso: la intuición, como cualquier otra cosa, se desarrolla, se mejora. Uno intuye distinto cuanto más datos tiene. Cuanto más acostumbrado está a pensar en cosas diferentes, mejor se prepara para tener ideas nuevas.
Agárrense fuerte entonces, porque empezamos ahora un viaje por el mundo de los conjuntos infinitos. Abróchense el cinturón y prepárense para pensar distinto.

PROBLEMA
Unos párrafos más arriba vimos como hacer para decidir cuál de dos conjuntos tiene más elementos (o si tienen el mismo cardinal). Decimos, para fijar las ideas, que dos conjuntos son coordinables si tienen el mismo cardinal, o sea, si tienen el mismo número de elementos. Como vimos, va no necesitamos contar en el sentido clásico. Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales sabemos que es un conjunto infinito.
¿Qué pasará con los números pares? Les propongo que hagan el ejercicio de demostrar que también son infinitos, o lo que es lo mismo, los números pares son un conjunto infinito.
Pero la pregunta cuya respuesta parece atentar contra la intuición es la siguiente: si N son todos los números y P son los números pares, ¿en qué conjunto hay más elementos? Yo sé que esto invita a una respuesta inmediata (todos los números tienen que ser más, porque los números pares están contenidos entre todos). Pero esta respuesta está basada en algo que no sabemos más si es cierto para conjuntos infinitos: ¿es verdad que por el simple hecho que los pares forman parte de todos los números entonces son menos? ¿,Por qué no tratamos de ver si podemos usar lo que aprendimos en el ejemplo de las butacas y las personas? ¿Qué habría que nacer? Deberíamos tratar de coordinar o aparear o unir con flechitas a todos los números y a los números pares. Eso nos va a dar la respuesta correcta.
Veamos. De un lado, en una bolsa, están todos los números naturales, los que forman el conjunto N. Del otro lado, en otra bolsa, están los números pares, los que forman el conjunto P. Si yo hago la siguiente asignación (teniendo en cuenta que a la izquierda están los números del conjunto N y a la derecha, los elementos del conjunto P):

1 ßà 2
2 ßà 4
3 ßà 6
4 ßà 8
5 ßà 10
6 ßà 12
7 ßà 14

(¿Entienden lo que estoy haciendo? Estamos asignando a cada número de N un número de P)
Es decir, a cada número de la izquierda, le hacemos corresponder su doble. Si siguiéramos así, al número n le hacemos corresponder el número 2n. Por ejemplo, al numero 103 le corresponde el 206. Al número 1.751, le corresponde el 3.502, etcétera. Ahora bien: ¿está claro que a todo número de la izquierda le corresponde un número de la derecha? ¿Y que cada número de la derecha es par»? ¿Y está claro también que a cada número par (de la derecha) le corresponde un número de la izquierda (justamente la mitad)? ¿Queda claro que hay una correspondencia biunívoca o una coordinación entre ambos conjuntos? ¿Queda claro que este proceso muestra que hay la misma cantidad de números naturales que de números pares: Esta afirmación es algo que en principio atenta contra la intuición. Pero es así. Liberados del problema de tener que contar; ya que en este caso no podríamos hacerlo porque el proceso no terminaría nunca en la medida en que los conjuntos son infinitos, lo que acabamos de hacer es mostrar que N y P son coordinables. O sea, que tienen el mismo número de elementos.
En el camino queda destruido un argumento que sólo es válido para conjuntos finitos: aunque un conjunto esté contenido en otro, eso no significa que par eso tenga menos elementos. Para conjuntos infinitos, eso no necesariamente es cierto, como acabamos de ver en el ejemplo de todos los números y los números pares.
Éste es ya un juguete nuevo. Con esto podemos divertirnos un rato y empezar a preguntar: ¿y los impares? Bueno, supongo que cualquiera que haya seguido el argumento de los párrafos anteriores está en condiciones de decir que también hay tantos impares como números todos. Y por supuesto que hay tantos impares como pares.
A esta altura, conviene que diga que al cardinal de estos conjuntos infinitos que vimos hasta acá (naturales, pares, impares), se los llama «aleph cero». (Aleph es la primera letra del alfabeto hebreo, y aleph cero es la notación que se usa universalmente para indicar el número de elementos de conjuntos infinitos coordinables con el conjunto de los números naturales).
¿Qué pasará ahora si consideramos los números enteros? Recuerden que los números enteros son todos los naturales, pero a los gire se les agregare el cero y todos los números negativos. A los enteros se los denomina con la letra Z (del alemán Zahl) y son:
{… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Está claro, entonces, que los enteros forman len conjunto infinito. De paso, es bueno observar que si un conjunto contiene como subconjunto a un conjunto infinito éste tiene que ser infinito también {¿no les dan ganas de pensarlo solos?}.
Pero volvamos al problema original. ¿Qué pasa con Z? Es decir, ¿qué pasa con los enteros? ¿Son más que los naturales? Para mostrar que el cardinal de ambos conjuntos es el mismo, lo que tenemos que hacer es encontrar una correspondencia biunívoca (es decir, flechitas que salgan de un conjunto y lleguen al otro sin dejar (libre ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos).
Hagamos las siguientes asignaciones:

Al 0 le asignamos el 1
Al -1 le asignamos el 2
Al +1 le asignamos el 3
Al -2 le asignamos el 4
Al +2 le asignamos el 5
Al -3 le asignamos el 6
Al +3 le asignamos el 7

Y así podremos asignarle a cada número entero un número natural. Está claro que no quedará ningún entero sin que le corresponda un natural, ni recíprocamente, ningún natural sin que tenga un entero asignado a su vez. Es decir, hemos comprobado con esto que el conjunto Z de los números enteros y el conjunto V de los números naturales tienen el mismo cardinal. Ambos tienen cardinal aleph cero. Es decir, los enteros V naturales tienen la misma cantidad de elementos.
Como ejercicio, les invito a que prueben que también tienen cardinal aleph cero (y por lo tanto tienen la misina cantidad de elementos que los enteros o los naturales) los números múltiplos de cinco, las potencias de dos, de tres, etcétera. Si llegaron hasta acá y todavía están interesados, no dejen de pensar los distintos casos y cómo encontrar la correspondencia que demuestra que todos estos conjuntos (aunque parezca que no) tienen todos el mismo cardinal.

Ahora peguemos un pequeño salto de calidad. Consideremos los números racionales, que llevan el nombre de Q (por «quotient», o «cociente» en inglés). Un número se llama racional si es el cociente de dos números enteros: a/b (excluyendo el caso, obviamente. en que b sea cero). Ya sabemos, como hemos visto en otra parte del libro, que no se puede dividir por cero.
En realidad, los números racionales son los que se conocen como las fracciones», con numerador y denominador números enteros. Por ejemplo, (-7/3), (17/5), (1/2), 7 son números racionales. Es interesante notar, que cualquier número entero es también un número racional, porque todo número entero a se puede escribir como una fracción o como cociente de él mismo por 1. O sea:

a = a/1

Lo interesante es tratar de ver que, aunque parezcan muchísimos más los racionales también tienen a aleph cero como cardinal. O sea, también son coordinables con los naturales. Así, en el lenguaje común (que es el útil), hay tantos racionales como naturales.
La demostración es interesante porque lo que vamos a hacer es una asignación que irá en espiral. Ya se va a entender. Y hacemos así:

Al 0/1 le asignamos el 1
Al 1/1 le asignamos el 2
Al 1/2 le asignamos el 3
Al 2/2 le asignamos el 4
Al 2/1 le asignamos el 5
Al 3/1 le asignamos el 6
Al 3/2 le asignamos el 7
Al 3/3 le asignamos el 8
Al 2/3 le asignamos el 9
Al 1/3 le asignamos el 10
Al 1/4 le asignamos el 11
Al 2/4 le asignamos el 12
Al 3/4 le asignamos el 13
Al 4/4 le asignamos el 14
Al 4/3 le asignamos el 15
Al 4/2 le asignamos el 16
Al 4/1 le asignamos el 17
Al 5/1 le asignamos el 18
Al 5/2 le asignamos el 19
Al 5/3 le asignamos el 20
Al 5/4 le asignamos el 21
Al 5/5 le asignamos el 22
Al 4/5 le asignamos el 23
Al 3/5 le asignamos el 24
Al 2/5 le asignamos el 25
Al 1/5 le asignamos el 26
Al 1/6 le asignamos el 27…

Como se, a cada número racional no negativo (o sea, mayor o igual que cero) le asignamos un número natural. Esta asignación es biunívoca, en el sentido que a todo racional le corresponde un natural y viceversa. La única observación que habría que considerar es que hice todo esto para los racionales positivos. Si uno quiere agregar los negativos, la asignación debe ser diferente, pero creo que el lector sabrá ingeniarse para hacerla (en todo caso, en la página de soluciones hay una propuesta para hacerlo).
Una observación que surge es que en la columna de la izquierda yo estoy pasando varias veces por el mismo número. Por ejemplo, el 1 en la columna de la izquierda aparece como 1/1, 2/2, 3/3, 4/4, etcétera, o sea, aparece muchas veces. ¿Afecta esto la cardinalidad? Al contrario. En todo caso, si uno tiene que conjeturar algo a priori, es que el conjunto de los racionales parece tener más elementos que los naturales y, sin embargo, la asignación que acabo de ofrecer muestra que tienen el mismo cardinal. En todo caso, muestra que a pesar de repetir varias veces el mismo racional, sigue habiendo naturales para todos ellos. Lo cual es un hecho francamente notable y anti-intuitivo.
Y ahora llegamos al punto central. La pregunta que uno tiene que hacerse es la siguiente: da la sensación que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal. Es decir, hemos revisado los naturales, los pares, los impares, los enteros, los racionales, etcétera. Todos los ejemplos que hemos visto de conjuntos infinitos resultaron ser coordinables a los naturales, o lo que es lo mismo, todos tienen el mismo cardinal: aleph cero.
Con todo derecho, entonces, uno podría decir: «Bueno. Ya sabemos cuáles son los conjuntos infinitos. Habrá muchos o pocos, pero todos tienen el mismo cardinal». Y aquí es donde aparece un punto central en la teoría de conjuntos. Hubo un señor que hace muchos años, alrededor de 1880, se tropezó con un problema. Tratando de demostrar que todos los conjuntos infinitos tenían el mismo cardinal, encontró uno que no. El señor por más esfuerzos que hacía por encontrar «las flechitas» para poder coordinar su conjunto con los números naturales, no podía. Tal era su desesperación que en un momento cambió de idea (e hizo algo genial, claro, porque tuvo una idea maravillosa) y pensó: «¿y si no puedo encontrar las flechitas porque no es posible encontrarlas? ¿No será preferible que trate de demostrar que no se pueden encontrar las flechitas porque no existen?».
Este señor se llamaba Georg Cantor. Van a encontrar una breve reseña biográfica de él en otra parte del libro, pero al margen de lo que allí diga, a Cantor lo volvieron loco. La comunidad científica especialista en el tema, literalmente lo enloqueció.
Cuando Cantor descubrió que había infinitos más grandes que otros, dijo: «Lo veo y no lo creo.
Pero ¿qué es lo que hizo Cantor? Para entenderlo, necesito recordar aquí por un momento qué es el desarrollo decimal de un número (sin entrar en demasiados detalles). Por ejemplo, cuando definí los números racionales, digamos el número 1/2, quedó claro que este número también se puede escribir así:

1/2 = 0,5
Y agrego otros ejemplos:

1/3 = 0,33333…
7/3 = 2,33333…
15/18 = 0,8333…
37/49 = 0,75510204…

Es decir, cada número racional tiene un desarrollo decimal (que se obtiene, justamente, haciendo el cociente entre los dos números enteros). Lo que sabemos de los números racionales es que al hacer el cociente, el desarrollo decimal es, o bien finito (como en el caso de 1/2 = 0,5, porque después vendrían sólo ceros a la derecha de la coma), o bien es periódico, como 1/3 = 0,33333…, en donde se repite un número (en este caso el 3), o podría ser un conjunto de números (que se llama período), como en el caso de

17/99 = 0,17171717…

en donde el período es 17, o bien, en el caso de

1743/9900 = 0.176060606…

en donde el periodo es 60.
Es más: podemos decir que todo número racional tiene un desarrollo decimal finito o periódico. Y al revés: dado un desarrollo decimal finito o periódico cualquiera, eso corresponde a un único número racional.
A esta altura, yo creo que puedo suponer que los lectores entienden lo que es el desarrollo decimal.
Con todo, hay números que no son racionales. Son números que tienen un desarrollo decimal pero que se sabe que no son racionales. El ejemplo más famoso es p (pi). Se sabe (no lo voy a probar aquí) que p no es un número racional. Si siguen interesados en más ejemplos, en este mismo libro está la demostración que «enloqueció» a los pitagóricos que «la raíz cuadrada de 2″, v2 no es racional. Y por otro lado, por allí también anda el número e , que tampoco es racional.
Ustedes saben que el número p tiene un desarrollo decimal que empieza así:

p = 3,14159…

El número v2 tiene un desarrollo decimal que empieza así: v2= 1,41421356…
El número e tiene un desarrollo decimal que empieza así: e = 2.71828183…
La particularidad que tienen todos estos números es que tienen un desarrollo decimal que no termina nunca (en el sentido que no aparecen ceros a la derecha de la coma a partir de ningún momento) y tampoco son periódicos (en el sentido de que no hay un lugar del desarrollo a partir del cual se repita indefinidamente un segmento de números). Estos dos hechos están garantizados porque los números en cuestión no son racionales. Es más: las cifras de cada número son imposibles de predecir en función de las anteriores. No siguen ningún patrón.
Creo que se entiende entonces cuáles son esta clase de números. Más aún: todo número real que no sea racional se llama irracional. Los tres ejemplos que acabo de poner son tres números irracionales.
Cantor propuso entonces: “voy a probar que hay un conjunto infinito que no se puede coordinar con los naturales». Y para eso siguió diciendo: «el conjunto que voy a tomar es el de todos los números reales que están en el segmento [0.1]
Un momento: tomen una recta, marquen un punto cualquiera y llámenlo cero. Los puntos que están a la derecha se llaman positivos y los que están a la izquierda se llaman negativos.

Cada punto de la recta corresponde a una distancia del cero. Ése va a ser el número 1 para ustedes. A partir de allí, uno puede construir los números reales. Cualquier otro punto de la recta está a una distancia del cero que está medida por la longitud del segmento que va desde el cero hasta el punto que usted eligió. Ese punto es un número real. Si está a la derecha del cero, es un número real positivo. Si está a la izquierda, es un número real negativo. Por ejemplo el 1/2 es el punto que está a la mitad de la distancia de la que usted marcó como 1. El (4/5) está a cuatro quintas partes del cero (es como haber partido el segmento que va desde el 0 hasta el 1 en cinco partes iguales, y uno se queda con el punto que queda al elegir las primeras cuatro).

Está claro, entonces, que a cada punto del segmento que va entre el 0 y el 1, le corresponde un número real. Ese número real, puede ser racional o irracional. Por ejemplo, el número ( Ö 2 – 1) = 0.41421356…. es un número irracional que está en ese segmento. El número ( p /4), también. Lo mismo que el número (e – 2). Cantor tomó entonces el segmento [0,1]. Son todos los números reales del segmento unitario. Este conjunto es un conjunto infinito de puntos. Piénsenlo así: tomen el 1, dividan al segmento por la mitad: tienen el 1/2. Divídanlo ahora por la mitad: tienen el número (1/4). Divídanlo por la mitad: tienen el (1/8). Como se advierte, dividiendo por la mitad cada vez, uno obtiene siempre un punto que está en la mitad de la distancia del que tenía antes. Eso va generando una sucesión infinita de puntos: (1/2n), todos los cuales están en el segmento [0,1].
Falta poco. Cantor dijo entonces: «voy a suponer que este conjunto (segmento unitario) se puede coordinar con los naturales». O sea, supuso que tenían el mismo cardinal. Si esto fuera cierto, entonces debería haber una asignación (o lo que llamamos «las flechitas») entre los elementos del segmento [0,1] y los números naturales. Resultaría posible, como en los ejemplos anteriores, que podríamos poner en una lista a todos los elementos del segmento [0,1].
Y eso hizo:

1
2
3
4

n 0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 …
0, a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 …
0, a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 …
0, a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 …
0, a n1 a n2 a n3 a n4 a n5 a n6 …

En este caso, lo que representan los distintos símbolos de la forma a pq , son los dígitos del desarrollo de cada número. Por ejemplo, supongamos que éstos son los desarrollos decimales de los primeros números de la lista:

1
2
3
4 0,783798099937…
0,523787123478…
0,528734340002…
0,001732845…

Es decir,
0, a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 … = 0,783798099937…
0,a 21 , a 22 a 23 a 24 a 25 a26 … = 0,523787123478… y así siguiendo.

O sea, lo que Cantor hizo fue suponer que existe una manera de «poner flechitas», o de hacer «asignaciones», de manera tal que todos los números reales del segmento [0,1] estuvieran coordinados con los naturales.
Y ahora, la genialidad de Cantor: «voy a construir un número que está en el segmento [0,1], pero que no está en la lista”. Y lo fabricó así: se construyó el número

A = 0, b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b 8 …

Uno sabe que este número está en el segmento [0,1], porque empieza con 0,…
¿Pero quiénes son las letras b k ? Bueno, Cantor dijo: Tomo b 1 de manera que sea un dígito diferente de a 11 , b 2 de manera que sea un dígito diferente de a 22 , b 3 de manera que sea un dígito diferente de a 33 , b n de manera que sea un dígito diferente de a nn .
De esta forma, tengo garantizado que el número A no está en la lista. ¿Por qué? No puede ser el primero de la lista, porque el b 1 difiere de a 11 . No puede ser el segundo, porque el b 2 difiere de a 22 . No puede ser el tercero, porque el b 3 difiere de a 33 . No puede ser el enésimo, porque el b n difiere de a nn. Luego, Cantor se fabricó un número real que está en el segmento [0,1] que no está en la lista. Y esto lo pudo construir independientemente de cuál fuera la lista.
Es decir, si viene cualquier otra persona y le dice «yo tengo una lista diferente de la suya, y la mía sí funciona y contiene todos los números reales del intervalo [0,1] «, Cantor puede aceptarle cualquier desafío, porque él puede construir un número real que debería estar en la lista, pero que no puede estar.
Y eso culmina la demostración, porque prueba que si uno quiere hacer una correspondencia biunívoca entre los números reales y los números naturales, va a fracasar. Cualquier lista que presuma de tenerlos a todos pecará por dejar alguno afuera. Y no hay manera de arreglarlo.
Este método se conoce con el nombre de método diagonal de Cantor, fue uno de los saltos cualitativos más importantes de la historia, en términos de los conjuntos infinitos. A partir de ese momento, se supo entonces que había infinitos más grandes que otros.
La historia sigue y es muy profusa. Daría para escribir muchísimos libros sobre el tema (que de hecho están escritos). Pero sólo para dejarnos a todos con un sabor bien dulce en la boca, quiero proponerles pensar algunas cosas:

Supongamos que uno tiene un «dado» con diez caras y no seis, como los habituales. Cada cara tiene anotado un dígito, del 0 al 9. Supongamos que uno empieza a tirar el dado hacia arriba. Y va anotando el numerito que va saliendo. Empieza poniendo 0,… de manera que el resultado termine siendo un número real del intervalo [0,1]. Piensen lo siguiente: para que el resultado sea un número racional, el «dado» de diez caras tiene que empezar a repetirse a partir de un determinado momento, ya sea porque da siempre cero, o bien porque repite un período. En cualquier caso, si no repite o no empieza a dar cero constantemente, es porque dio un número irracional. Si repite o empieza a dar siempre cero es racional. ¿Qué les parece que es más posible que pase? De las dos alternativas, ¿cuál les parece más factible? Esto sirve para que intuitivamente advirtamos cuántos más son los irracionales que los racionales.
Si uno tuviera una recta, y pudiera excluir los racionales, no se notarían virtualmente los agujeros. En cambio, si excluyéramos a los irracionales, casi no se verían los puntos que quedan. Tanto más grande en tamaño es el conjunto de los reales comparado con el de los naturales. (La palabra casi está usada adrede, porque no es que no se verían los racionales sino que la idea que quiero dar es que los irracionales son muchísimos más que los racionales).
Hay muchas preguntas para hacerse, pero la más inmediata es la siguiente: ¿es el conjunto de números reales el que tiene infinito más grande? La respuesta es no. Uno puede construirse conjuntos arbitrariamente grandes y con un cardinal infinito «más grande» que el anterior. Y este proceso no termina nunca.
Otra dirección de pregunta podría ser la siguiente: vimos recién que los reales son más que los naturales, pero ¿hay algún conjunto infinito que tenga cardinal más grande que el de los naturales y más chico que el de los reales? Este problema es un problema abierto de la matemática, pero se supone que no hay conjuntos infinitos en el medio. Sin embargo, la hipótesis del continuo dice que la matemática seguirá siendo consistente, se pruebe que hay o no hay conjuntos con infinitos más grandes que el de los naturales y más chicos que el de los reales.

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