Lógica-matemática

HONGOS

En lógica matemática, un predicado es una función del conjunto de la constante al conjunto de las proposiciones lógicamente interpretables (en el sentido de la lógica proposicional); igualmente un predicado se puede concebir como una función del conjunto de los cuantificadores al conjunto de predicados de la lógica proposicional:

La lógica de primer orden generaliza a la lógica proposicional precisamente en que su formalismo puede tratar cuantificadores de variables como predicados. La lógica de segundo orden permite además cuantificadores sobre predicados, además de cuantificadores sobre variables.

A veces es difícil o imposible enumerar un conjunto mencionando todos y cada uno de sus elementos. Una manera útil de trabajar consiste en especificar dicho conjunto mediante una propiedad que todos los elementos del conjunto tengan en común.

La notación {\displaystyle \scriptstyle P(x)}se usa para denotar la afirmación de que x tiene la propiedad P (el nombre predicado se justifica porque muchos predicados gramaticales del lenguaje ordinario son representables tienen propiedades lógicas similares a lo predicados de la lógica matemática). Así un cierto conjunto puede ser presentado por la notación:

{\displaystyle C=\{x|\ P(x)\}\,}

que se lee como «C está formado por todos los x tales que P(x)» o dicho de otra manera el conjunto de elementos que tienen cierta propiedad. Por ejemplo:

{\displaystyle C_{1}=\{x|\ (x\in \mathbb {N} )\land (x<4)\}=\{1,2,3\}}

El conjunto de los números naturales que son menores o igual que cuatro, coincide con el conjunto que consta de los elementos 1, 2 y 3.

De lo anterior se sigue que cualquier elemento del conjunto {\displaystyle \scriptstyle \{x|\ P(x)\}}es un objeto matemático {\displaystyle \scriptstyle t}para el cual la proposición {\displaystyle \scriptstyle P(t)}es cierta.

Igualmente el predicado {\displaystyle \scriptstyle P(\cdot )}puede interpretarse como una función proposicional tal que para cada argumento de la misma en el dominio de definición resulta el valor verdadero o falso según lo sea la proposición (lógica) en su referencia al mundo.

En lógica matemática la forma en que se expresa la proposición lógica, en tanto que función predicativa es ‘Fx’ o ‘Fa’.

‘F’ simboliza el nombre del predicado; ‘x’ o ‘a’ simbolizan una variable o una constante si el predicado es monádico, es decir, actúa sobre un único argumento. Se utilizan como variables, x, y, z, etc. en predicados poliádicos15 Pueden utilizarse asimismo otras letras de predicados G, H, G’, H’ etc.

Siendo F = ladrar; x = perro:    {\displaystyle Fx=losperrosladran}

Siendo a = mi perro Desko:     {\displaystyle Fa=MiperroDeskoladra}

La predicación se realiza mediante la cuantificación. En lógica de primer orden un predicado es un objeto básico del lenguaje de dicha lógica que puede representar tanto una propiedad como una relación entre entidades.

La lógica en que se cuantifican los argumentos es la lógica de predicados o lógica de primer orden, pues trata de individuos. La lógica que cuantifica los predicados es lógica de orden superior o lógica de segundo orden.

Consideremos el siguiente enunciado y su consideración como proposición lógica en la lógica tradicional y las diversas formas de consideración lógica del predicado en la lógica actual:

Sea el enunciado: “Si te encuentras un elefante, te encuentras un animal más grande que los leones”.

Su formalización lógica como proposición: “Los elefantes son más grandes que los leones”

Su formalización en la lógica matemática es la siguiente:

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