. La raíz cuadrada de 2 es un número irracional

Cuando Pitágoras y su gente (hayan existido o no) descubrieron el famoso teorema (el de Pitágoras, digo), tropezaron con un problema… Supongamos que uno tiene un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden uno. (Aquí podríamos poner un metro o un centímetro o una unidad, para que la abstracción no sea tan grande).
Entonces, si cada cateto mide uno, la hipotenusa tiene que medir v2. Este número presenta inmediatamente un problema. Para entenderlo, pongámonos de acuerdo en un par de puntos:
a) Un número x se llama racional si resulta ser el cociente entre dos números enteros.
O sea,

x = p / q

donde p y q son números enteros, y además debe cumplirse que q ? 0.
Ejemplos:

1,5 es un número racional, porque 1,5 = 3 / 2
7.6666666… es racional porque 7,6666666… = 23 / 3
5 es un número racional, porque 5= 5 / 1

En particular, este último ejemplo sugiere que todo número entero es racional. Y este resultado es cierto, ya que cualquier número entero se puede escribir como el cociente entre él mismo y 1.
Hasta ese momento, o sea, en el momento en que Pitágoras demostró su teorema, los únicos números que se conocían eran lo racionales. El propósito de este sub-capítulo es, justamente, introducir el problema con el que tropezaron los pitagóricos.
Un paso más. Para pensar: si un número es par, ¿será verdad que su cuadrado es par?
Como siempre, hago una pausa (virtual) para dejarlos solos con su mente (o un lápiz y papel). En todo caso, yo sigo aquí porque no los puedo esperar mucho tiempo, pero ustedes vuelvan cuando quieran…
La respuesta es sí. ¿Por qué? Porque si un número x es par, eso significa que x se puede escribir de esta forma:

x =2 x n

(donde n es un número entero también). Entonces, si elevamos a x al cuadrado, se tiene:

x 2 = 4 x n 2 = 2 x (2 x n )

Y esto significa que x 2 es m número par también.
Ahora, al revés: ¿seré verdad que si x es par, entonces x tiene que ser par? Veamos: si x no fuera par, entonces, seria impar. En ese caso, x se tendría que escribir así:

x =2k + 1

donde k es cualquier número natural.
Pero entonces, al elevarlo al cuadrado, no, puede ser par tampoco, ya que

x 2 = (2k+1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4m + 1
(en donde llamé m = k 2 + k).

Luego, si x 2 = 4m + 1, entonces x 2 es un numero impar. La moraleja es que si el cuadrado de un número es par, es porque el número ya era par.
Con todos estos datos, ahora estamos en condiciones de abordar el problema que se les planteó a los pitagóricos. ¿Será verdad que el número v2 es racional también? Insisto: piensen que en aquel momento los únicos números que se conocían eran los racionales. Por lo tanto, era natural que uno tratara de probar que cualquier número con el que tropezaba fuera racional. Es decir: si en esa época los únicos números que se conocían eran los racionales, era razonable que trataran de encontrarle una escritura como p/q a cualquier número nuevo que apareciera.
Supongamos entonces (como hicieron los griegos) que v2 es un número racional. Si es así, entonces, tienen que existir dos números enteros p y q , de manera tal que

v2 = (p / q)

Al escribir (p / q), suponemos ya que hemos «simplificado» los factores comunes que puedan tener p y q . En particular, suponernos que ambos no son pares, ya que si lo fueran, simplificaríamos la fracción y eliminaríamos el factor dos, tanto en el numerador como en el denominador. O sea: podemos suponer que o bien p o bien q no son pares.
Luego elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos:

2 = ( p / q ) 2 = p 2 / q 2

y si ahora «pasamos multiplicando el denominador del segundo miembro al primer miembro, se tiene:

2 x q 2 = p 2

Luego esta ecuación dice que el número p 2 es un número par (ya que se escribe como el producto de 2 por un entero). Como vimos un poco más arriba, si el número p es par, es porque el propio número p es un número par. Entonces el número p , como es un número par, se puede escribir así:

p = 2k

Al elevarlo al cuadrado se tiene:

p 2 = 4k 2

Reemplazando en la ecuación original, se tiene:

2 q 2 = p 2 = 4k 2

v simplificando por 2 en ambos lados,

q 2 = 2k 2

Por lo tanto, el número q 2 es par también. Pero ya vimos que si q 2 es par, es porque el número q es par. Y en ese caso, juntando lo que hemos demostrado, resultaría que tanto p como q serian pares. Y eso no es posible, porque habíamos supuesto que si fuera así, los habríamos simplificado.
Moraleja: el número v2 no es racional. Y eso abrió un campo nuevo, inexplorado y muy fructífero: el de los números irracionales, juntos los racionales y los irracionales componen el conjunto de números reales. Son todos los números que necesitamos para medir en nuestra vida cotidiana. (Nota: no todos los números irracionales son tan fáciles de fabricar como v2. En realidad, si bien v2 y ? son ambos números irracionales, son esencialmente bien distintos por razones que escapan al objetivo de este libro. El primero, v2, pertenece al conjunto de los «números algebraicos”, mientras que p pertenece al de los «n úmeros trascendentes”).

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