Infinitos números primos

Ya sabemos lo que son los números primos. Sin embargo, conviene recordar un pasaje de la obra El Burgués Gentilhombre, de Molière, en el que el protagonista, cuando se le pregunta si sabe algo en particular, contesta: «Haced como si no lo supiera y explicádmelo». Así que para partir de un conocimiento común comenzaremos por algunas definiciones.
En este capítulo, vamos a usar sólo los números naturales (o enteros positivos). No quiero dar aquí una definición rigurosa, pero sí ponemos de acuerdo acerca que números estoy hablando:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…. 100, 101, 102,…,}

Excluyamos al número 1 de las con siete raciones que siguen, pero como ustedes pueden comprobar fácilmente, cualquier otro número tiene siempre por lo menos dos divisores: sí mismo y 1. (Un número es divisor de otro, si lo divide exactamente. O sea, si al dividir uno por otro, no tiene resto, o lo que es lo mismo: el resto es cero.
Por ejemplo:
El 2 es divisible por 1 y por sí mismo (el 2)
El 3 es divisible por 1 y por sí mismo (el 3)
El 4 es divisible por 1, por 2 y por sí mismo (el 4)
El 5 es divisible por 1 y por sí mismo (el 5)
El 6 es divisible por 1, por 2, por 3 y por sí mismo (el 6)
El 7 es divisible por 1 y por sí mismo (el 7),
El 8 es divisible por 1, por 2, por 4 y por sí mismo (el 8)
El 9 es divisible por 1, por 3 y por si mismo (el 9),
El 10 es divisible por 1, por 2, por 5 y por sí mismo (el 10).
Uno podría seguir con esta lista indefinidamente. Con todo, revisando lo que pasa con los primeros naturales, uno detecta un patrón todos son divisibles por el 1 y por sí mismos. Puede que tengan más divisores pero siempre tienen por lo menos dos. Quiero agregar aquí un par de ejemplos más, para invitarle a pensar en una definición. Observen:

El 11 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 13 es divisible solamente por 1 y por si mismo.
El 17 es divisible solamente por 1 y por si mismo.
El 19 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 23 es divisible solamente por 1 y por sí mismo.
El 29 es divisible solamente por 1 y por si mismo.
El 31 es divisible solamente por 1 y por si mismo.

¿Advierten un patrón en todos estos ejemplos? ¿Qué les sugiere que el 2, 3, 7, 11, 13, 17 19, 23, 29, 31 tengan únicamente dos divisores mientras que el resto de los números tengan más de dos? Una vez que tienen esa respuesta (y si no la tienen también) escribo una definición:
Un número natural (distinto de 1) se dice que es número primo si y sólo si tiene exactamente dos divisores, el 1 y sí mismo.
Como se ve pretendo aislar a un grupo de números porque tienen una característica muy especial: son divisibles por sólo dos números, ellos mismos y el número uno.
Ahora escribamos en una lista los que aparecen entre los primeros cien números naturales:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Hay 25 primos entre los primeros cien números.
Hay 21, entre 101 y 200.
Hay 16, entre 201 y 300.
Hay 16, entre 301 y 400.
Hay 17, entre 401 y 500.
Hay 14, entre 501 y 600.
Hay 16, entre 601 y 700.
Hay 14, entre 701 y 800.
Hay 15, entre 801 y 900.
Hay 14, entre 901 y 1.000.
Es decir, hay 168 en los primeros mil números. Si uno se fija en cualquier «tablita» de números primos, la secuencia empieza a hacerse más «fina». Es decir, hay 123 primos entre 1.001 y 2.000, 127 entre 2.001 y 3.000, 120 entre 3.001 y 4.000. Y así podríamos seguir. Aunque surgen algunas preguntas… muchas preguntas. Por ejemplo:

¿Cuántos primos hay?
¿Se acaban en algún momento?
Y si no se acaban, ¿cómo encontrarlos todos?
¿Hay alguna fórmula que produzca primos?
¿Cómo están distribuidos?
Si bien uno sale que no puede haber primos consecutivos, salvo el 2 y el 3, ¿cuántos números consecutivos podemos encontrar sin que aparezca ningún primo?
¿Que es una laguna de primos?
¿Qué son los primos gemelos? (la respuesta estará en el capítulo siguiente).

En este libro sólo me propongo responder algunas, pero lo mejor que podría pasar es que quien esté leyendo estas notas sienta la suficiente curiosidad como para ponerse a pensar algunas de las respuestas o bien a buscar en los diferentes libros del área (Teoría de Números) qué es lo que se sabe de ellos al día de hoy y qué problemas permanecen abiertos.
El objetivo es exhibir ahora una prueba que los números primos son infinitos. Es decir, que la lista no termina nunca. Supongamos que no fuera así. O sea, supongamos que al tratar de «listarlos» se agotan en algún momento.
Los llamaremos entonces
p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , …p n

de manera tal que ya estén ordenados en forma creciente.

p 1 < p 2 < p 3 < p 4 < p 5 < …p n En nuestro caso sería como poner: 2 < 3 < 5 < 7 < 11 < 13 < 17 < 19 <...

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