Fórmula de Herón

HONGOS

En geometría plana elemental la fórmula de Herón, atribuida invención al matemático griego, Herón de Alejandría,1 , da el área de untriángulo conociendo las longitudes de sus tres lados a, b y c:

{\displaystyle {\acute {A}}rea={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}{\displaystyle {\acute {A}}rea={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}

donde s es el semiperímetro del triángulo:

{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}.

Cualquier polígono simple puede ser separado en triángulos que a lo más tienen un lado común o un vértice común, mediante diagonales que parten de un único vértice apropiado. Esta subdivisión y la aplicación de la norma herodiana para el área triangular, facilita el cálculo del área de la región plana encerrada por el polígono simple, con solo medir longitudes, allí radica su importancia.

La fórmula también puede expresarse de estas otras formas:

{\displaystyle {\acute {A}}rea={\ {\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\ \over 16}}\,}}{\displaystyle {\acute {A}}rea={\ {\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\  \over 16}}\,}}
{\displaystyle {\acute {A}}rea={\ {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\ \over 16}}\,}}{\displaystyle {\acute {A}}rea={\ {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\  \over 16}}\,}}
{\displaystyle {\acute {A}}rea={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\ \over 4}\,}{\displaystyle {\acute {A}}rea={\ {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}}\  \over 4}\,}
{\displaystyle {\acute {A}}rea={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.}{\displaystyle {\acute {A}}rea={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.}

La fórmula de Herón se distingue de otras fórmulas para hallar el área de un triángulo, como la de la mitad de la base por la altura o la de la mitad del módulo de un producto cruz de dos lados, por no requerir ninguna elección arbitraria de un lado como base o un vértice como origen.

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