Estado estacionario

En mecánica cuántica un estado estacionario es aquel en el cual la densidad de probabilidad no varía con el tiempo. Una consecuencia es que los estados estacionarios tienen una energía definida, es decir, son autofunciones del Hamiltoniano del sistema.

Como es una autofunción del Hamiltoniano, un estado estacionario no está sujeto a cambio o decaimiento (a un estado de menor energía). En la práctica, los estados estacionarios no son «estacionarios» para siempre. Realmente se refieren a autofunciones del Hamiltoniano en el que se han ignorado pequeños efectos perturbativos. Estaterminología permite discutir las autofunciones del Hamiltoniano no perturbado considerando que la perturbación puede causar, eventualmente, el decaimiento del estado estacionario. Esto implica que el único estado estacionario de verdad es el estado fundamental.

Evolución temporal de los estados estacionarios

La ecuación de Schrödinger permite obtener la evolución con el tiempo del estado de un sistema. Así, en la representación de posición se expresa como:

(1){\displaystyle i\hbar {\partial \Psi (\mathbf {r} ,t) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)}

Donde {\displaystyle \nabla ^{2}\,}es el operador laplaciano.

Para el caso de un sistema conservativo la energía potencial no depende del tiempo. Así, {\displaystyle V=V(\mathbf {r} )}, por lo que podemos buscar soluciones mediante el método de separación de variables. En efecto, buscaremos soluciones del tipo:

{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )f(t)}

Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger (1) y reordenando, tenemos

{\displaystyle i\hbar \psi (\mathbf {r} ){df(t) \over dt}=f(t)\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )\right\}}

es decir

{\displaystyle i\hbar {\frac {1}{f(t)}}{df(t) \over dt}={\frac {1}{\psi (\mathbf {r} )}}\left\{-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )\right\}}

Como el primer término depende sólo del tiempo (y por tanto es válido para cualquier valor de r) mientras que el segundo depende sólo de r (y por tanto es válido para cualquiert), y ambos son iguales, llegamos a la conclusión de que ámbos tienen que ser constantes. Como el segúndo término tiene dimensiones de energía, llamaremos a dicha constante E. Vemos, que la función de onda toma la forma

{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }}

donde {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}es la solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

{\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}

es decir, es una autofunción del Hamiltoniano {\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }.

La principal característica de los estados estacionarios es que la densidad de probabilidad es independiente del tiempo. En efecto, en este caso

{\displaystyle |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} )e^{iEt/\hbar }\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=\psi ^{*}(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=|\psi (\mathbf {r} )|^{2}}

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