Encuesta con pregunta prohibida

Este ejemplo muestra una manera sutil de evitar un problema. Supongamos que uno quiere encuestar un grupo de personas sobre un tema crítico, delicado. Pongamos, por caso, que uno quiere averiguar el porcentaje de jóvenes que consumieron alguna droga durante el colegio secundario.
Es muy posible que la mayoría se sienta incómodo si tuviera que contestar que sí. Naturalmente, eso arruinaría el valor de verdad de la encuesta.
¿Cómo hacer entonces para «circunvalar» el obstáculo del pudor o molestia que genera la pregunta?
En el ejemplo, el entrevistador le quiere preguntar a cada alumno si consumió alguna droga durante el secundario. Pero le dice que el método que van a usar es el siguiente:
El joven entrará en un «cuarto oscuro», como si fuera a votar, y se dispondrá a tirar una moneda. Nadie está viendo lo que él hace. Sólo se le pide que sea respetuoso de las reglas:

1) si salió cara debe responder «sí» (cualquiera sea la respuesta verdadera),
2) si salió ceca, debe responder la verdad.

De todas formas, el único testigo de lo que el joven hace o dice es él mismo.
Con este método, se espera al menos un 50% de respuestas positivas (que son las que provienen de que uno «estime» que la moneda salió cara la mitad de las veces). En cambio, cuando alguien dice que no, es porque la respuesta verdadera es que no. O sea, este joven no se drogó. Sin embargo, supongamos que hay un 70% de respuestas positivas (dijeron que sí). ¿No dice algo esto? Es decir, ¿no lo tienta decir que con estos datos uno podría sacar alguna conclusión?
Como siempre, los invito a que piensen un poco solos. Y después, sigan con el razonamiento. Más allá del número de respuestas positivas, uno esperaba de antemano que habría (al menos) un 50% de ellas. Y esto se produce porque uno supone que como la moneda no está cargada, la mitad de las veces debería salir cara. Con ese dato solo, uno sabe que, al salir del cuarto oscuro, la mitad de los participantes debe decir que si, pero al mismo tiempo, hay otro 20% de respuestas que son afirmativas y no provienen del hecho de que la moneda salió cara. ¿Cómo interpretar este dato?
El hecho es que eso está diciendo que, de las veces que salió ceca (que es la otra mitad de las veces), un 20% de los alumnos dijo que si se había drogado. En consecuencia, uno podría inferir (y lo invito a pensar conmigo), que al menos un 40% de los alumnos fue consumidor de alguna droga. ¿Por qué? Porque del 50% restante, el 20% (¡nada menos!) contestó que sí. Y, justamente, el 20% de ese 50% implica un 40% de las personas.
Este sistema evita «señalar» a quien contesta que sí y exponerlo a una situación embarazosa. Pero, por otro lado, mantiene viva la posibilidad de encuestar lo que uno pretende.
Para aquellos que conocen un poquito más de probabilidad y saben lo que es la probabilidad condicional, podemos exponer algunas fórmulas.
Si llamamos x a la probabilidad de responder que si, entonces:

x = p («salga cara») * p («sí», si cara) + p («salga ceca») * p («sí’, si ceca),

en donde definimos:
p («salga cara») = probabilidad de que la moneda salga cara
p («sí», si cara) = probabilidad de que el joven diga que sí, habiendo salido cara al tirar la moneda
p («salga ceca») = probabilidad de que la moneda salga ceca,
p («si», si ceca) = probabilidad de que el joven diga que si, habiendo salido ceca al tirar la moneda.
Por otro lado,
p (cara) = p (ceca) =1/2
p («sí» si cara) = 1
«p («sí, si ceca) = es la probabilidad de drogarse, que es justamente lo que queremos calcular. Llamémosla p
Luego
x=1/2 * 1 + 1/2 * P => P = 2 * (x-1/2)

Por ejemplo, si el porcentaje de respuestas positivas hubiera sido de un 75% (o sea, 3/4 del total de las respuestas), reemplazando x por 3/4 en la fórmula anterior, se tiene:

P = 2 * (3/4-1/2)= 2 * (1/4) = 1/2

Esto significaría que la mitad de la población estudiantil consumió alguna droga durante el colegio secundario.

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