El último teorema de Fermat, un enigma que duró más de tres siglos

Tres al cuadrado (9) más 4 al cuadrado (16) es igual a 5 al cuadrado (25). Sin embargo, tres al cubo (27) más cuatro al cubo (64) no es igual a ningún otro cubo.

En el siglo XVII, el gran matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) nacido en Beaumont-de-Lomagne y precursor del cálculo diferencial con su método de búsqueda de los máximos y mínimos de las líneas curvas, anotó en el margen de un libro un teorema que explicaba por qué la suma de dos números elevados cada uno a la potencia n, nunca podría ser igual a un tercer número elevado a la misma potencia, si x, y, z son números enteros distintos de cero y n es superior a 2.

Junto a su teorema, Fermat apuntó una frase que ha fascinado a los matemáticos desde hace más de tres siglos: «He descubierto una demostración realmente notable que este margen es demasiado pequeño para contener». Como hemos podido comprobar en la entrevista anterior, realizada a Andrew Wiles, hoy en día algunos matemáticos se muestran escépticos sobre la existencia real de dicha demostración.

Sobre este tema, Simon Singh, físico de partículas, y Kenneth A. Ribet, profesor de matemática en la Universidad de California, en Berkeley, publicaron, en enero de 1998, un artículo intitulado El último reducto de Fermat, en el que se lleva a cabo un desarrollo histórico de los distintos avances que se han producido para intentar desentrañar uno de los teoremas más notables de las matemáticas: “el último teorema de Fermat”.

Por su indudable interés hemos decidido reproducir a continuación un extracto del mencionado artículo de Simon Singh y Kenneth A. Ribet.

*Fragmento de “El último reducto de Fermat”.

En junio de 1997, 500 matemáticos se congregaron en el aula magna de la Universidad de Göttingen para presenciar la entrega del prestigioso premio Wolfskehl a Andrew J. Wiles, de la Universidad de Princeton. Tal galardón, establecido en 1908 para quien lograse demostrar el célebre teorema magno de Fermat, también llamado “el último teorema”, equivalía en aquella época a dos millones de dólares actuales. La hiperinflación y la devaluación del marco habían reducido el premio a tan sólo unos 50.000 dólares en el verano de 1997. Pero eso nada importaba. Porque Wiles, al demostrar el enigma dejado por Fermat en el siglo XVII, había hecho realidad un sueño de su infancia y dado término a un decenio de intenso esfuerzo. A juicio de los invitados allí reunidos, la demostración de Wiles prometía revolucionar el futuro de la matemática.

Y la verdad es que para llevar a cabo su cálculo, de 100 páginas, Wiles tuvo que tomar y desarrollar muchas ideas de la matemática moderna. En particular, hubo de habérselas con la conjetura de Shimura-Taniyama, una idea profunda surgida en nuestro siglo, que cala con hondura en la geometría algebraica y en el análisis de variable compleja. Y en el proceso, Wiles forjó un eslabón entre estas dos grandes ramas de la matemática. Es seguro, en consecuencia, que las ideas y resultados de cualquiera de estos campos serán fuente de inspiración para nuevos resultados en el otro. Además, ahora que se ha tendido el puente, es posible que salgan a la luz otras conexiones entre reinos matemáticos distantes…

Para Wiles, la concesión del premio Wolfskehl señala el fin de una obsesión que duró más de 30 años…

Mas, para otros matemáticos, quedan pendientes cuestiones de primera importancia. En particular, todos están de acuerdo en que la demostración de Wiles es demasiado complicada y moderna para ser la que Fermat tenía en mente cuando escribió su nota marginal. O bien Fermat se equivocaba, y su demostración, si es que existió, era errónea, o bien está por inventarse una demostración sencilla y sagaz.

PIERRE DE FERMAT, un maestro de la teoría de números del siglo XVII, solía escribir a otros matemáticos preguntándoles si tendrían el ingenio de igualar sus soluciones. Concibió su más famoso problema, el llamado “último teorema”, mientras estudiaba la Arithmetica de Diofanto de Alejandría. Fermat afirmaba que no existían soluciones enteras no triviales para la ecuación an + bn = cn, donde n es un número entero cualquiera, mayor que 2. En el margen de Arithmetica, Fermat dejó anotado un comentario que ha exasperado a los matemáticos de tres siglos: “Tengo una demostración maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho para contener”.

ANDREW J. WILES, de la Universidad de Princeton, demostró el celebérrimo teorema de Fermat en 1994, tras un decenio de concentrados esfuerzos. Para completar su cálculo, de 100 páginas, Wiles necesitó recurrir a muchas y modernas ideas de las matemáticas, y desarrollarlas más todavía. En particular, tuvo que demostrar la conjetura de Shimura-Taniyama para un subconjunto de curvas elípticas, objetos descritos por ecuaciones cúbicas tales como y2 = x3 + ax2 + bx + c.

LEONHARD EULER, el más notable de los estudiosos de la teoría de números del siglo XVIII, llegó a tal grado de frustración con el teorema de Fermat, que en 1742 le pidió a un amigo que registrase de arriba abajo la casa del francés en busca de alguna nota que hubiera podido quedar perdida.

GORO SHIMURA y YUTAKA TANIYAMA desarrollaron en los años cincuenta una idea que acabaría siendo útil en la demostración de Wiles. Su conjetura se refería a las formas modulares, que son funciones de variable compleja, esto es, de números x + iy, donde i, la unidad imaginaria, es raíz cuadrada de -1. Ambos matemáticos propusieron que cada curva elíptica puede asociarse con una forma modular, cuyas respectivas series-L fueran iguales. Taniyama, trágicamente, no vivió para ver el éxito de Wiles: se suicidó el 17 de noviembre de 1958.

SOPHIE GERMAIN hubo de realizar sus estudios con el nombre de Monsieur Leblanc, a causa de los prejuicios contra las mujeres matemáticas. Consiguió el primer progreso importante del siglo XIX, demostrando un teorema que recorría buena parte del camino hacia la solución de la ecuación de Fermat para valores de n que sean números primos mayores que 2 y para los cuales 2n + 1 sea también primo.

GERHARD FREY propuso en 1984 una nueva estrategia para atacar el último teorema de Fermat: Supongamos que A y B sean potencias n-ésimas perfectas, tales que A + B sea también una potencia n-ésima, es decir, que sean solución de la ecuación de Fermat. Entonces A y B pueden utilizarse como coeficientes en una curva elíptica especial: y2 = x(x – A)(x + B); el “discriminante” de esta curva elíptica, A2B2 (A + B)2, es también una potencia n-ésima perfecta. Frey sospechaba que una curva elíptica tal no podía ser modular. Dicho de otro modo, Frey señalaba que, si alguien demostrase que la conjetura de Shimura-Taniyama es verdadera o que todas las curvas elípticas son modulares, podría entonces demostrarse que la ecuación elíptica y2 = x(x – A)(x + B) no existe; en cuyo caso, no habría solución para la ecuación de Fermat y quedaría demostrado el teorema de Fermat.

KENNETH A. RIBET siguió la idea apuntada por Frey. En junio de 1986 demostró que ninguna curva elíptica podía ser modular si su discriminante fuera potencia n-ésima perfecta.

“¡EUREKA!” exclamó jubiloso medio mundo cuando Wiles reveló su primera demostración del último teorema de Fermat en una lección pronunciada en junio de 1993. Sin embargo, poco después los expertos hallaron en ella un fallo serio. Wiles analizó el error con un antiguo alumno suyo, Richard Taylor. Entre ambos se esforzaron en adaptar el método utilizado por Wiles y aplicaron herramientas que Wiles antes había rechazado. Por fin, el 19 de septiembre de 1994, lograron su propósito.

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