El problema 3 x + 1

Les propongo un ejercicio para que hagamos juntos. Naturalmente, ni yo estoy aquí para acompañarles («aquí» significa donde están ustedes ahora leyendo este libro) ni ustedes están conmigo aquí («aquí” es donde estoy yo, sentado frente a mi computadora escribiendo estas líneas). De todas formas, digresión aparte, síganme en este razonamiento.
Vamos a construir juntos una sucesión de números naturales (enteros positivos). La regla es la siguiente: empezamos por uno cualquiera. Digamos, a manera de ejemplo, que elegimos el número 7. Ése va a ser el primer elemento de nuestra sucesión.
Para generar el segundo elemento, hacemos lo siguiente: si el que elegimos primero es par, lo dividimos por dos. En cambio, si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. En nuestro ejemplo, al haber elegido el 7, como no es par, tenemos que multiplicarlo por 3 y sumarle 1. Es decir, se obtiene el número 22, ya que 3 x 7 = 21 y sumando uno, queda 22.
Tenemos entonces los primeros dos elementos de nuestra sucesión: {7 22}.
Para generar el tercer elemento de la sucesión, como el 22 es un número par, lo dividimos por dos, y obtenemos 11. Ahora tenemos {7, 22, 11}.
Como 11 es impar, la regla dice: «multiplíquelo por 3 y súmele 1». O sea, 34. Se tiene {7 22, 11, 34}.
Luego, como 34 es par, el próximo elemento de la sucesión es 17 Y el siguiente es 52. Luego 26, Y después 13, Y sigue 40, Luego 20, (hasta acá tenemos {7, 22,11, 34, 17, 52, 26, 13, 40,20}) y seguimos dividiendo por dos los pares y multiplicando por 3 y sumando 1 a los impares:

{7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Y en el número 1, paramos,
Les invito ahora a que elijamos cualquier otro número para empezar, digamos el 24. La sucesión que se tiene es:

{24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Si ahora empezamos con el 100, se sigue:

{100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Como se alcanza a ver, todas las sucesiones que elegí terminan en el número 1.
En realidad, aunque no lo dije antes, al llegar al número 1 el proceso se detiene, porque si uno siguiera, entraría en un lazo o circulo, ya que del 1 pasaría al 4, del 4 al 2 y del 2 otra vez al 1. Por eso es que cuando al construir la sucesión llegamos al número 1, detenemos el proceso.
Hasta hoy, agosto de 2005, en todos los ejemplos conocidos siempre se termina la sucesión en el número 1. Pero no se tiene ninguna demostración que pruebe que el resultado es válido para cualquier número con el que comencemos el ejercicio.
Este problema se conoce con el nombre de «problema 3 x + 1», o también como el «Problema de Collatz», o «Problema de Syracusa’, o «Problema de Kakutanl» o «Algoritmo de Hasse» o «Problema de Ulam». Como ven, tiene muchos nombres pero ninguna solución. Es una buena oportunidad para empezar. Con todo, permítanme intercalar algo aquí: es muy poco probable que una persona «lega» tenga las herramientas suficientes para resolverlo. Se estima que hay sólo veinte personas en el mundo capaces de «atacarlo». Pero como escribí en alguna otra parte de este mismo libro, eso no significa que alguno de ustedes, en algún lugar del planeta, por mayor o menor entrenamiento matemático que tengan, esté impedido para que se le ocurra una idea que nadie tuvo antes y el problema quede resuelto por una persona que no pertenezca a ese privilegiado grupo de veinte.
Este problema que acaban de leer se inscribe dentro de una larga lista que la matemática tiene sin resolver aún. Es fácil aceptar esto en otras ciencias. Por ejemplo, la medicina no sabe aún cómo resolver algunas variedades de cáncer o del Alzheimer, por poner un par de ejemplos. La física no tiene aún una «teoría» que integre lo macro con lo micro, ni conoce todas las partículas elementales. La biología no conoce aún cómo funcionan todos los genes ni cuántos son. En fin, estoy seguro que usted puede agregar muchísimos ejemplos más. La matemática, decía, tiene su propia lista.

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