Conjunto imagen

En matemáticas, la imagen (conocida también como campo de valores o rango) de una función {\displaystyle f\colon X\to Y\,} es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función. Se puede denotar como {\displaystyle {\rm {{im}(f)\,}}}, {\displaystyle \operatorname {Im} _{f}\,} o bien {\displaystyle I_{f}\,} y formalmente está definida por:

{\displaystyle \operatorname {Im} _{f}:=\left\{y\in Y\;|\;\exists x\in X,\;f(x)=y\right\}}

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si {\displaystyle f:A\to B} es una función, entonces la imagen del elemento {\displaystyle a\in A} es el elemento {\displaystyle f(a)\in B}.

Diferencia con el contradominio

El conjunto imagen siempre es unsubconjunto del contradominio.

Es importante diferenciar el concepto de contradominio del concepto de conjunto imagen.

Si {\displaystyle f:X\to Y} es una función, al conjunto Y de valores que podría tomar la función se conoce como contradominio, mientras que el conjunto imagen consta únicamente de los valores que realmente toma.

Por ejemplo, la función {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \ f(x)=x^{2}} tiene por contradominio el conjunto de todos los números reales, pero como nunca toma realmente valores negativos, el conjunto imagen está formado únicamente por los números reales no negativos.

En general, el conjunto imagen siempre es un subconjunto del codominio, y cuando éstos coinciden, se dice que la función essuprayectiva.

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