Cartas binarias

Piensen en el siguiente hecho: no importa si ustedes hablan inglés, alemán, francés, portugués, danés, sueco… si uno escribe

153 + 278 = 431

toda persona que viva en Inglaterra o Estados Unidos, o Alemania o Francia o Portugal o Brasil o Dinamarca (por poner algunos ejemplos de países en donde se hablen idiomas distintos), entienden.
Esto quiero decir: el lenguaje de los números es «más universal» que el de los diferentes idiomas. Lo trasciende. Es que nos hemos puesto de acuerdo (aun sin saberlo) en que los números son «sagrados». Bueno, no tanto, pero lo que quiero decir es que hay ciertas convenciones (los números obviamente son una convención) que trascienden los acuerdos que hicimos alguna vez para comunicamos.
Europa tardó más de cuatrocientos años en adoptar la numeración arábiga (o sea, los números que usamos hoy) y cambiar lo que se usaba hasta entonces (los números romanos). El primero que los introdujo en Europa fue el famoso Fibonaccl, hacia 1220. Fibonaccl, cuyo padre italiano lo había llevado de niño al norte de África, entendió claramente la necesidad de usar otra numeración más apropiada. Pero si bien no quedaban dudas de las ventajas que la nueva numeración tendría, los mercaderes de la época se ocuparon de evitar el progreso que les impediría a ellos hacer trampa en las cuentas.
A propósito, los romanos ignoraban al cero. La dificultad para hacer cálculos se puede resumir en algo que escribió Juan Enríquez en “ As the Future Catches You” : «trate de multiplicar 436 por 618 en números romanos, y después me cuenta».
Ahora bien. Cuando uno escribe el número

2.735.896

en realidad, está abreviando o simplificando la siguiente operación:

2,000,000 + 700,000 + 30,000 + 5,000 + 800 + 90 + 6

Claro: uno no se da cuenta que está haciendo esto (ni necesita hacerlo). Pero en realidad, la notación es un “acuerdo» que hacemos originalmente para «abreviar» todo lo que escribimos en la fila (a).
Puesto de otra manera, sería como escribir:

2 x 10 6 + 7 x 10 5 + 3 x 10 4 + 5 x 10 3 + 8 x 10 2 + 9 x 10 1 + 6 x 10 0

con la convención que el número 10 0 = 1
Es lo que estudiábamos en la escuela primaria y que la maestra nos enseñaba como «las unidades de millón», las «centenas de mil», las «decenas de mil», las «unidades de mil», las «centenas», las «decenas» y las «unidades», así, a secas. Uno nunca más utilizó esa nomenclatura ni le hizo falta tampoco.
Lo curioso es que para poder escribir los números de la forma en la que los escribimos, necesitamos decir, por ejemplo, cuántas decenas de mil, cuántas unidades de mil, cuántas centenas, etcétera.
Para eso, necesitamos los números que en la ecuación (b), puse en letras «negritas» y con un tamaño un poco más grande.
Y esos números son los que llamamos dígitos, que como todo el mundo sabe, supongo, son diez:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Supongamos que ahora uno contara solamente con dos dígitos: 0 y 1.
¿Cómo hacer para poder escribir un número?
Si uno sigue la misma lógica que cuando tiene los diez dígitos, primero los usa a todos por separado. Es decir, usa: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Cuando llega hasta aquí, ya no los puede usar a los dígitos solos. Necesita combinarlos. Es decir, necesitamos usar ahora dos de los dígitos Y empieza con el 10. Y sigue, 11, 12, 13, 14… 19… (aquí necesita empezar con el siguiente dígito), y usa el 20, 21, 22, 23… 29, 30… etcétera… hasta que llega al 97, 98, 99. En este punto, ya agotó todas las posibilidades de escribir números que tengan dos dígitos. Y sirvieron para enumerar los primeros cien (porque empezamos con el 0. Hasta el 99, hay Justo 100).
¿Y ahora? Necesitamos usar tres dígitos (y que no empiecen con cero, porque si no, es como tener dos dígitos pero en forma encubierta). Entonces, empezamos con 100, 101, 102… etcétera. Después de llegar a los mil, necesitamos cuatro dígitos Y así siguiendo. Es decir: cada vez que agotamos todos los posibles números que podemos escribir con un dígito, pasamos a dos Cuando agotamos los de dos, pasamos a los de tres Y luego a los de cuatro. Y así siguiendo.
Cuando uno tiene dos dígitos solamente, digamos el 0 y el 1, ¿cómo hacer? usamos primero los dos dígitos por separado:
0 = 0
1 = 1

Ahora, necesitamos pasar al siguiente caso, o sea, cuando necesitamos usar dos dígitos (y curiosamente, necesitamos ya usar dos dígitos para escribir el número dos):

10 = 2
11 = 3

Aquí, ya agotamos las posibilidades con dos dígitos. Necesitamos usar más

100 = 4
101 = 5
110 = 6
111 = 7
Y necesitamos uno más para seguir:
1000 = 8
1 001 = 9
1010 = 10
1011 = 11
1100 = 12
1101 = 13
1110 = 14
1111 = 15
Escribo sólo un paso más:
10 000 = 16
10001 = 17
10010 = 18
10011 = 19
10100 = 20
10101 = 21
10110 = 22
10111 = 23
11000 = 24
11001 = 25
11010 = 26
11011 = 27
11100 = 28
11101 = 29
11110 = 30
11111 = 31

Y aquí los dejo a ustedes solos. Pero lo que queda dato es que para poder llegar al 32, hace falta agregar un dígito más y usar el 100000.
Lo notable es que con sólo dos dígitos es posible escribir cualquier número. Los números están ahora escritos en potencias de 2, de la misma forma en que antes estaban escritos en potencias de 10.
Veamos algunos ejemplos:

111 = 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 1 x 2 0 = 7

1010 = 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 = 10

1100 = 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 0 x 2 0 = 12

110101 = 1 x 2 5 + 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 53

10101010 = 1 x 2 7 + 0 x 2 6 + 1 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 = 170

(Un dato interesante es que todo número par termina en cero, y todo número impar termina en uno).
Creo que a esta altura está claro qué hace uno para «descubrir» de qué número se trata en la escritura «decimal», cuando uno lo tiene escrito en «forma binarla» (se llama binada, porque se usan sólo dos dígitos: 0 y 1).
Lo que importa también es advertir que como uno usa «solo» los dígitos 0 y 1 que multiplican a las potencias de dos; pueden pasar sólo dos cosas: o que esa potencia esté o que no esté involucrada en la escritura del número.
Por ejemplo, en la escritura del número 6 (110), las potencias que es tan involucradas son 2 2 y 2 1 ya que 2 0 que antecede a 2~ dice que esa potencia no aparece.
Justamente, este es el -secreto- que permite resolver el enigma de las «cartas binarias’ que aparecen en el apéndice del libro. Es decir: uno le pide a una persona que elija un número cualquiera entre 0 y 255. Y le pide también que no se lo diga: que sólo lo piense. Le da entonces las cartas binarias que acompañan al libro. Y le dice: «¿en cuáles de estas cartas figura el número que elegiste?».
La persona va mirando en cada carta y selecciona lo que le pidieron. Por ejemplo, si eligió el número 170 entrega las cartas que en el tope superior izquierdo tienen los siguientes números: 128, 32, 8 y 2.
Si uno suma estos números, obtiene el número 170. Y lo consigue sin que la persona le hubiera confiado el número. ¡Es la forma de descubrirlo!
¿Por que funciona el método? Porque la persona, al elegir las cartas en donde figura el número, le está diciendo a uno (sin que ellos sepan, claro) en dónde están los unos en la escritura binarla del número que eligieron.
Por eso, si la persona que eligió mentalmente el número 170, tuviera que escribir el número en notación binaria, habría escrito:

10101010

o lo que es lo mismo:

10101010=1 x 2 7 +0 x 2 6 +1 x 2 5 +0 x 2 4 +1 x 2 3 +0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 = 170

Y por eso, al elegir las cartas, es lo mismo que si estuviera “eligiendo» los “unos». Las cartas que «no le entrega» son las cartas que contienen los ceros.
Por último ¿como hacer para saber cómo escribir un número cualquiera en forma binaria? Por ejemplo: si yo tengo el número 143, ¿cuál es la escritura? (es importante aprender a resolver este problema, porque si no habría que empezar la lista número por número hasta llegar al 143).
Lo que se hace es dividir el número 143 por 2. Y al resultado volver a dividirlo por 2. Y seguir así, hasta el cociente que se obtenga, sea 0 o 1.
En este caso entonces:

143 = 71 x 2 + 1

O sea, acá el cociente es 71 y el resto es 1. Seguimos. Ahora dividimos al 71 por 2.

71 = 35 x 2 + 1

El cociente acá es 35. Y el resto es 1. Dividimos 35 por 2
35 = 2 x 17 + 1 (cociente 17, resto 1),
17 = 8 x 2 + 1 (cociente 8, resto 1),
8 = 4 x 2 + 0 (cociente 4, resto 0),
4 = 2 x 2 + 0 (cociente 2, resto 0),
2 = 1 x 2 + 0 (cociente 1, resto 0),
1 = 0 x 2 + 1 (cociente 0, resto 1)

Y aquí termina la historia. Lo que uno hace es juntar todos los restos que obtuvo y ponerlos todos juntos, de abajo hacia arriba:

10 001 111

1 x 2 7 +0 x 2 6 +0 x 2 5 +0 x 2 4 +1 x 2 3 +1 x 2 2 +1 x 2 1 +1 x 2 0 = 128 + 8 + 4 + 2 + 1 = 143
Ahora les sugiero que practiquen ustedes con otros números. Yo voy a poner sólo un par de ejemplos más:

82 =41 x 2 + 0
41 = 20 x 2 + 1
20 = 10 x 2 + 0
10 = 5 x 2 + 0
5 = 2 x 2 +1
2 = 1 x 2 + 0
1 = 0 x 2 + 1
Luego,

82 = 1010010 = 1 x 2 6 + 0 x 2 5 + 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 0 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 0 = 64 + 16 + 2

(y el número lo obtuvimos escribiendo de abajo arriba, los restos de las divisiones. Insisto en invitarlos a hacer las cuentas y convencerse que esto es cierto (y mucho más interesante aún es convencerse que esto es cierto independientemente del número que elijamos).
Un último ejemplo:
1.357 = 678 x 2 + 1
678 = 339 x 2 + 0
339 = 169 x 2 + 1
169 = 84 x 2 + 1
84 = 42 x 2 + 0
42 = 21 x 2 + 0
21 = 10 x 2 + 1
10 = 5 x 2 + 0
5 = 2 x 2 + 1
2 = 1 x 2 + 0
1= 0 x 2 +1

Luego, el número que buscamos es: 10101001101, lo que significa:

1 x 2 10 + 0 x 2 9 +1 x 2 8 + 0 x 2 7 + 1 x 2 6 + 0 x 2 5 + 0 x 2 4 + 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 1024 + 256 + 64 + 8 + 4 + 1 = 1.357

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