Asociatividad

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna: {\displaystyle \circ }, es decir:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&A\times A&\to &A\\&(a,b)&\to &c=a\circ b\end{array}}}

Se dice que el conjunto A, con la operación {\displaystyle \circ }, {\displaystyle (A,\circ )}tiene la propiedad asociativa, entonces:

{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {A} \;:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}

 

Podemos decir que la Asociatividad es el orden en que se comienza a leer una operación aritmética sea por la derecha o por la izquierda: ejemplo de Asociatividad por la derecha 2+2**(3**2) primero se saca la exponeciación de 3**2 y luego se prosigue con la de 2**9 siendo 9 el resultado de la anterior 2 + 512 = 514.

Partiendo del conjunto de los números naturales:

{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}\,}

y la operación suma:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\to &\mathbb {N} \\&(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}}

podemos ver que: {\displaystyle (\mathbb {N} ,+)\,}tiene la propiedad asociativa, dado que:

{\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a+(b+c)=(a+b)+c}

Por otro lado, la operación resta:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\to &\mathbb {N} \\&(a,b)&\to &c=a-b\end{array}}}

podemos ver que: {\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}no tiene la propiedad asociativa, dado que:

{\displaystyle \exists a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a-(b-c)\neq (a-b)-c}

Por ejemplo:

{\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2}

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