Segmentos de distinta longitud

Como hemos visto reiteradamente en este libro, todo lo que tenga que ver con los conjuntos infinitos es ciertamente fascinante. La intuición es puesta a prueba y los sentidos también. La famosa frase de Cantor (“lo veo, pero no lo creo”) caracteriza bien lo que nos ocurre cuando tropezamos con ellos (los conjuntos infinitos) las primeras veces.
Otro ejemplo muy ilustrativo es el de los segmentos. Tomemos dos segmentos de distinta longitud. Llamémoslos [A,B] y [C,D]. Uno sabe (¿sabe?) que todo segmento tiene infinitos puntos. Si necesitan una confirmación, marquen el punto medio del segmento. Ahora tienen dos segmentos iguales. Tomen cualquiera de ellos, marquen el punto medio y continúen con el proceso. Como advierten, siempre hay un punto en el medio de dos y, por lo tanto, el número de puntos que contiene un segmento es siempre infinito.
Lo interesante es preguntarse, ¿cómo se comparan los infinitos? Es decir, ¿quién tiene más puntos si dos segmentos tienen distintas longitudes como [A,B] y [C,D]? La respuesta es sorprendente también y es que ambos tienen el mismo número de puntos. Infinitos, ciertamente, pero el mismo número. ¿Cómo convencerse de esto?
Como ya hemos visto en el capítulo de los distintos tipos de infinitos, es imposible tratar de contar. Necesitamos otros métodos de comparación. Y la herramienta que usé en otras partes, es la de las “asignaciones” o “flechitas” que unen los elementos de uno con los elementos de otro (recuerden el apareamiento de números naturales con los enteros, o con los racionales, etcétera). En este caso, entonces, hago lo mismo.

Ponemos los dos segmentos, [A,B] y [C,D], uno debajo del otro (como se ve en la figura). Colocamos un punto O más arriba, de manera tal de que queden ALINEADOS (es decir, encima de la misma recta) los puntos O, B y D, y por otro lado, también están alineados los puntos O, A y C. Para ver que ambos segmentos tienen el número de puntos, necesitamos “aparear” o trazar flechitas” entre los puntos de uno y otro segmento. Por ejemplo, al punto 1 le corresponde al punto 1′, porque lo que hacemos es trazar DESDE O, un segmento que empiece en O y pase por 1. El punto en donde “corta” al segmento [C, D], lo llamamos 1′. De la misma forma, si queremos averiguar cuál es el que le corresponde al punto 2, hacemos lo mismo: trazamos el segmento que une al punto O con el punto 2, y nos fijamos en qué punto “corta” al segmento [C,D]. A ese punto, lo llamamos 2′. Es evidente entonces, que para cada punto del segmento [A,B], repitiendo el proceso explicado arriba, le corresponde un punto del segmento [C,D]. Y viceversa: dado el punto 3′ en el segmento [C,D], si queremos saber qué punto del segmento [A,B] le corresponde, “unimos” ese punto 3′ con el punto O , y el lugar en donde corta a [A, B], lo llamamos 3. Y listo.

Este hecho, naturalmente, atenta contra la intuición, porque se desprende que un segmento que una la parte externa de la página que ustedes están leyendo con la parte interna, tiene la misma cantidad de puntos que un segmento que una la Ciudad de Buenos Aires con la de Tucumán. O un segmento que una la Tierra con la Luna.
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23. Un punto en un segmento
Les propongo el siguiente ejercicio para comprobar su familiaridad con los grandes números.
Tomen una hoja y algo con qué escribir.
Tracen un segmento (háganlo grande, no ahorren papel justo ahora, aunque el ejemplo funciona igual).
Pongan el número cero en el extremo izquierdo de su segmento.
Pongan el número un billón en el extremo derecho. Es decir, ustedes van a suponer que el segmento que dibujaron mide un billón. Marquen en el mismo segmento el número mil millones. ¿Dónde lo pondrían?
La respuesta, en las páginas de soluciones.
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24. Suma de las inversas de las potencias de 2 (suma infinita)
Supongamos que dos personas (A y B) están paradas a dos metros de distancia, una de otra. Ambas personas van a ser virtuales, en el sentido de que funcionarán como puntos, como los extremos de un segmento. Este segmento va a tener dos metros de distancia Ahora el señor A va a empezar a caminar hacia B, pero no lo va a hacer en forma libre, sino que va a seguir las siguientes instrucciones: cada paso que dé va a cubrir exactamente la mitad de la distancia de lo que le falta recorrer para llegar hasta B. Es decir, el primer paso que A va a dar será de un metro (ya que la distancia que lo separa de B es de dos metros).
Luego el señor A (que ahora esta parado en la mitad del segmento [A,B] va a seguir caminando y su próximo paso va a ser medio metro (1/2 = 0,5) porque la distancia que le falta recorrer hasta llegar a B es justo un metro (y la instrucción para él es bien precisa: sus pasos son siempre la mitad del terreno que le falta recorrer).
Una vez que A haya dado ese paso, estará parado en el punto 1,5. Como estará a medio metro de B, su paso siguiente será de 0,25 centímetros (1/4 que es la mitad de 1/2). Y cuando llegue estará a 1,75 de distancia del lugar de origen.
El señor A sigue caminando. Sus próximos pasos van a ser: 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, 1/1024, etcétera. Como ustedes advierten, el señor A no va a llegar nunca a destino (si es que su destino era llegar hasta el señor B). No importa cuánto tiempo camine, sus pasos van a ser cada vez más pequeños (en realidad, cada vez se verán reducidos a la mitad), pero si bien siempre va a avanzar (lo que no es poco decir) y, además, va a avanzar nada menos que la mitad de lo que le falta, el pobre A no va a llegar nunca a destino.
Por otro lado, los pasos que da el señor A son siempre hacia adelante, por lo que A está cada vez más cerca de B.
Uno podría poner todo esto en números y decir lo siguiente:
1 = 1 = 2 -1
1 + 1/2 = 3/2 = 2 – 1/2
1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 = 2 – 1/4
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 15/8 = 2 – 1/8
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 31/16 = 2 – 11/6
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 63/32 = 2-1/32
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +1/64 = 127/64 = 2 – 1/64

Supongo que ustedes habrán advertido ya un patrón (que es en definitiva lo que hacemos los matemáticos… no necesariamente con éxito). Las sumas van siendo cada vez mayores y los resultados que se van obteniendo con estas sumas parciales de pasos del señor A, son cada vez números más grandes. Es decir, estamos construyéndonos una sucesión de números estrictamente creciente (en el sentido de que van creciendo en cada renglón). Por otro lado, es claro que no sólo crecen sino que podemos saber, además, cómo crecen, porque cada vez están más cerca de 2. Si uno mira los resultados de la columna de la derecha, uno advierte que queda:

2-1, 2-1/2, 2-1/4, 2-1/8, 2-1/16, 2-1/32, 2-1/64…

… así es que de estos hallazgos uno podría sacar varias moralejas pero, en principio, quiero establecer dos hechos:
uno puede sumar números positivos indefinidamente y la suma no se hace un número arbitrariamente grande. En este ejemplo, es claro que la suma de todos esos números (si es que uno hipotéticamente pudiera sumar infinitamente) no superaría a dos. Es más: si uno efectivamente pudiera sumar infinitamente, el resultado final sería dos.
Este proceso asegura que a medida que el señor A va caminando, uno puede acercarse a un número tanto como quiera (en este caso al dos), pero nunca llegar. La distancia que separa al señor A de B es cada vez más pequeña, y se puede hacer tan pequeña como yo quiera, pero A nunca llega a tocar a B.

Esto que hemos visto aquí encubre varias nociones importantes y profundas de la matemática, pero la más importante es la de limite, que fue un descubrimiento conjunto hecho por Newton y Leibniz al empezar el siglo XVIII, uno en Inglaterra y el otro en Alemania.
Y con esta noción cambió el mundo de la ciencia para siempre.

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